2. Jak mając dany okręg i trzy różne punkty wewnątrz, skonstruować trójkąt wpisany, by każdym jego boku był jeden z tych punktów ?
3. Na bilardzie eliptycznym bila \(\displaystyle{ A}\) stoi przy bandzie, a bila \(\displaystyle{ B}\) na odcinku \(\displaystyle{ S}\) łączącym ogniska elipsy. Należy pchnąc \(\displaystyle{ A}\) tak, aby po odbiciu od bandy trafiła \(\displaystyle{ B}\). zakazane jest jednak przecięcie odcinka \(\displaystyle{ S}\) prez \(\displaystyle{ A}\) przed odbiciem od bandy.
Wykazać, że jest to nierozwiązalne.
Zadanie H. Steinhausa
4. Kiedy \(\displaystyle{ 1^3 - 2^3 + 3^3 - +... +(-1)^{n+1}n^3 }\) jest kwadratem liczby całkowitej ?
Pi Mu Epsilon
5. Wykazać na trzy różne sposoby, że jeśli \(\displaystyle{ a < c}\) są liczbami niewymiernymi, to istnieje liczba niewymierna \(\displaystyle{ b}\) taka, iż \(\displaystyle{ a < b < c.}\)
6. Kwadrat jednostkowy obrócono o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wokół jednego z wierzchołków. Obliczyć pole wspólnej części wyjściowego i obróconego kwadratu.
7. Na siatce trójkąta równobocznego ułożone jest dziesięć dwukolorowych żetonów i górny z nich jest czarny na wierzchu a biały na spodzie; pozostałe żetony: odwrotnie. Ruch w grze polega na zdjęciu z siatki dowolnego żetonu (góra czarna, spód biały) i odwróceniu wszystkich z nim połączonych żetonów. Czy można w tej grze zdjąć usunąć wszystkie żetony ?
Uwagi: Połączeniami są bokami dziewięciu trójkątów siatki.
8. Uzupełnić do kwadratu łacińskiego.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & ? & ? & ? \\ ? & 1 & ? & ? \\ ? & ? & 2 & ? \\ ? & ? & ? & 3 \end{bmatrix}}\)
9. Liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c, x, y , z}\) są takimi, że:
\(\displaystyle{ xy \equiv a\ (\bmod \ z) }\)
\(\displaystyle{ yz \equiv b \ (\bmod \ x)}\)
\(\displaystyle{ xz \equiv c \ (\bmod \ y)}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \min \{ x, y, z \} \leq ab+bc+ca.}\)
10. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+y^2 = xy^2+3 \\ x^2+y^3 = x^2y+3. \end{cases} }\)
11. Udowodnić, że bryła o dwóch osiach obrotu jest kulą bądź kulą z wydrążoną w niej inną współśrodkową z nią kulą.
12. Kongruencja
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{\frac{p-1}{2}} j^{p-2} \equiv \frac{2-2^p}{p} \ (\bmod \ p )}\)
zaś \(\displaystyle{ p>2}\) jest liczbą pierwszą.
Singapur
13. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{1+ \frac{20}{x}} - \sqrt{1+24x} = 2.}\)
Singapur
14. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ (a,b)}\) z tego, że \(\displaystyle{ \lim (ax_{n+1} - bx_n)=0}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lim x_n=0}\) ?
15. Ile jest różnych wymieszań kostki Rubika ?
16. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx.}\)
17. Dany jest "ciąg ciągów" (budowa elementów jak w trójkącie Pascala):
\(\displaystyle{ 0, \ , 1, \ , 2, \ , 3,...., 2024 \\ \ \ 1, \ \ , 3, \ , 5,.... \\ ....... }\)
Jaki będzie element w ostatnim rzędzie ?
18. Na planszy \(\displaystyle{ 5 \times 9}\) jest \(\displaystyle{ n}\) sztonów. W każdym ruchu można dowolny szton przesuną na sąsiednie wolne pole, ale jeśli było wykonane przesunięcie sztonem w pionie, to w następnym ruchu należy wykonać przesunięcie w poziomie (i na odwrót). Wyznaczyć maksymalne \(\displaystyle{ n}\), dla którego możliwym jest, iż gra nigdy się nie skończy.
19. Palindromy
Słowo \(\displaystyle{ w}\) zbudowane z \(\displaystyle{ n}\) liter jest palindromem jeśli jest takie samo wspak. Słowo \(\displaystyle{ w}\) jest zanurzone w słowie \(\displaystyle{ u}\), jeśli można można przez skreślenie niektórych liter z \(\displaystyle{ u}\) dostać słowo \(\displaystyle{ w}\).
Udowodnić, że jeśli słowo \(\displaystyle{ W}\) ma \(\displaystyle{ n}\) liter, to jest co najmniej \(\displaystyle{ n}\) palindromów zanurzonych w \(\displaystyle{ W.}\)
Przykłady
Słowa \(\displaystyle{ XYZYX}\) i \(\displaystyle{ XYZZYX}\) są palindromami, \(\displaystyle{ XYXX}\) nie jest palindromem; \(\displaystyle{ XYA}\) jest zanurzone w \(\displaystyle{ XBYAC}\) ale \(\displaystyle{ XA}\) nie jest zanurzone w \(\displaystyle{ AZX}\).
20. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w zerze i
\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} f(x)\sin(\frac{1}{x}) \ , \ x \neq 0 \\ 0 \ , \ x =0 \end{cases} }\)
i \(\displaystyle{ g}\) też jest różniczkowalna w zerze, to
\(\displaystyle{ f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0)= f(0)=g(0)=0. }\)
21. Czy \(\displaystyle{ id_{N}}\) jest jedyną rosnącą funkcja dla której \(\displaystyle{ f (n+f(n)) =2f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\) ?
22. Na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AB}\) jest punkt \(\displaystyle{ Q}\) (różny od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)) i okrąg ten ma punkty wspólne \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) z okręgiem o średnicy \(\displaystyle{ d=2HQ}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) jest rzutem punktu \(\displaystyle{ Q}\) na \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że odcinek \(\displaystyle{ CD}\) połowi \(\displaystyle{ HQ}\).
23. Które wyrażenie jest większe \(\displaystyle{ \prod_{j=1}^{n} \frac{mj-1}{mj}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[2^{k+1}]{ \frac{1}{2n+1}}}\) gdy \(\displaystyle{ m \geq 2 }\) i \(\displaystyle{ k \geq \log_{2} (m-1).}\)
24. Punkt kratowy \(\displaystyle{ X}\) nazywa się widzialnym z \(\displaystyle{ O(0,0)}\) jeśli na odcinku \(\displaystyle{ OX}\) nie ma żadnych innych punktów kratowych (oprócz \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ X}\) ). Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieje kwadrat o boku \(\displaystyle{ n}\) we wnętrzu którego nie ma punktów widzialnych.
Tajwan
25. Kasyno
Gra polega na przemieszczaniu się kulki po sąsiadujących wierzchołkach grafu o sześciu wierzchołkach i sześciu krawędziach (boki kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) i krawędzie \(\displaystyle{ AS}\) i \(\displaystyle{ CK}\)); każdy ruch z dowolnego wierzchołka jest jednakowo prawdopodobny.
Gra rozpoczyna się od wierzchołka \(\displaystyle{ S}\), a kończy się gdy:
i) kulka powraca do \(\displaystyle{ S}\) i gracz przegrywa
lub
ii) kulka trafia do punktu \(\displaystyle{ K}\) i gracz wygrywa.
Obliczyć prawdopodobieństwo wygranej i średnią liczbę ruchów w grze.
26. Peg Game
Celem przestrzennej wersji tej gry jest aby pozostał w niej tylko jeden kołek bądź dwa sąsiednie. Wykazać, że jeśli na starcie tylko środek czworościanu jest pusty, to nie można wygrać.
Uwagi: Inna nazwa gry to: gra w kołki lub przekładanka.
27. Czy wielomian \(\displaystyle{ 1+2x+3x^2 + \sum_{j=4}^{n+1} jx^{j-1} }\) może mieć \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków rzeczywistych ?
28. Mając dane
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 = b+2 \\ b^2 = a+2 \end{cases} \\ a \neq b}\)
obliczyć \(\displaystyle{ 4ab- a^3 - b^3. }\)
Singapur
29. Ile jest różnych "optycznie" wyników przy \(\displaystyle{ m}\) rzutach kostką sześcienną ?
30. Obliczyć długość niebieskiej cięciwy (rys.) Bangladesz