[MIX] Mix zadań mieszanych

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11613
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3172 razy
Pomógł: 751 razy

[MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: mol_ksiazkowy »

MIX
1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca i określona na \(\displaystyle{ [0, 1]}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest ciągłą na \(\displaystyle{ f([0, 1])}\)
2. Jak mając dany okręg i trzy różne punkty wewnątrz, skonstruować trójkąt wpisany, by każdym jego boku był jeden z tych punktów ?
3. Na bilardzie eliptycznym bila \(\displaystyle{ A}\) stoi przy bandzie, a bila \(\displaystyle{ B}\) na odcinku \(\displaystyle{ S}\) łączącym ogniska elipsy. Należy pchnąc \(\displaystyle{ A}\) tak, aby po odbiciu od bandy trafiła \(\displaystyle{ B}\). zakazane jest jednak przecięcie odcinka \(\displaystyle{ S}\) prez \(\displaystyle{ A}\) przed odbiciem od bandy.
Wykazać, że jest to nierozwiązalne.
Zadanie H. Steinhausa
4. Kiedy \(\displaystyle{ 1^3 - 2^3 + 3^3 - +... +(-1)^{n+1}n^3 }\) jest kwadratem liczby całkowitej ?
Pi Mu Epsilon
5. Wykazać na trzy różne sposoby, że jeśli \(\displaystyle{ a < c}\) są liczbami niewymiernymi, to istnieje liczba niewymierna \(\displaystyle{ b}\) taka, iż \(\displaystyle{ a < b < c.}\)
6. Kwadrat jednostkowy obrócono o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wokół jednego z wierzchołków. Obliczyć pole wspólnej części wyjściowego i obróconego kwadratu.
7. Na siatce trójkąta równobocznego ułożone jest dziesięć dwukolorowych żetonów i górny z nich jest czarny na wierzchu a biały na spodzie; pozostałe żetony: odwrotnie. Ruch w grze polega na zdjęciu z siatki dowolnego żetonu (góra czarna, spód biały) i odwróceniu wszystkich z nim połączonych żetonów. Czy można w tej grze zdjąć usunąć wszystkie żetony ?
Uwagi: Połączeniami są bokami dziewięciu trójkątów siatki.
8. Uzupełnić do kwadratu łacińskiego.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & ? & ? & ? \\ ? & 1 & ? & ? \\ ? & ? & 2 & ? \\ ? & ? & ? & 3 \end{bmatrix}}\)
9. Liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c, x, y , z}\) są takimi, że:
\(\displaystyle{ xy \equiv a\ (\bmod \ z) }\)
\(\displaystyle{ yz \equiv b \ (\bmod \ x)}\)
\(\displaystyle{ xz \equiv c \ (\bmod \ y)}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \min \{ x, y, z \} \leq ab+bc+ca.}\)
10. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+y^2 = xy^2+3 \\ x^2+y^3 = x^2y+3. \end{cases} }\)

11. Udowodnić, że bryła o dwóch osiach obrotu jest kulą bądź kulą z wydrążoną w niej inną współśrodkową z nią kulą.
12. Kongruencja
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{\frac{p-1}{2}} j^{p-2} \equiv \frac{2-2^p}{p} \ (\bmod \ p )}\)
zaś \(\displaystyle{ p>2}\) jest liczbą pierwszą.
Singapur
13. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{1+ \frac{20}{x}} - \sqrt{1+24x} = 2.}\)
Singapur
14. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ (a,b)}\) z tego, że \(\displaystyle{ \lim (ax_{n+1} - bx_n)=0}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lim x_n=0}\) ?
15. Ile jest różnych wymieszań kostki Rubika ?
16. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx.}\)
17. Dany jest "ciąg ciągów" (budowa elementów jak w trójkącie Pascala):
\(\displaystyle{ 0, \ , 1, \ , 2, \ , 3,...., 2024 \\ \ \ 1, \ \ , 3, \ , 5,.... \\ ....... }\)
Jaki będzie element w ostatnim rzędzie ?
18. Na planszy \(\displaystyle{ 5 \times 9}\) jest \(\displaystyle{ n}\) sztonów. W każdym ruchu można dowolny szton przesuną na sąsiednie wolne pole, ale jeśli było wykonane przesunięcie sztonem w pionie, to w następnym ruchu należy wykonać przesunięcie w poziomie (i na odwrót). Wyznaczyć maksymalne \(\displaystyle{ n}\), dla którego możliwym jest, iż gra nigdy się nie skończy.
19. Palindromy
Słowo \(\displaystyle{ w}\) zbudowane z \(\displaystyle{ n}\) liter jest palindromem jeśli jest takie samo wspak. Słowo \(\displaystyle{ w}\) jest zanurzone w słowie \(\displaystyle{ u}\), jeśli można można przez skreślenie niektórych liter z \(\displaystyle{ u}\) dostać słowo \(\displaystyle{ w}\).
Udowodnić, że jeśli słowo \(\displaystyle{ W}\) ma \(\displaystyle{ n}\) liter, to jest co najmniej \(\displaystyle{ n}\) palindromów zanurzonych w \(\displaystyle{ W.}\)
Przykłady
Słowa \(\displaystyle{ XYZYX}\) i \(\displaystyle{ XYZZYX}\) są palindromami, \(\displaystyle{ XYXX}\) nie jest palindromem; \(\displaystyle{ XYA}\) jest zanurzone w \(\displaystyle{ XBYAC}\) ale \(\displaystyle{ XA}\) nie jest zanurzone w \(\displaystyle{ AZX}\).

20. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w zerze i
\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} f(x)\sin(\frac{1}{x}) \ , \ x \neq 0 \\ 0 \ , \ x =0 \end{cases} }\)
i \(\displaystyle{ g}\) też jest różniczkowalna w zerze, to
\(\displaystyle{ f^{\prime}(0) = g^{\prime}(0)= f(0)=g(0)=0. }\)
21. Czy \(\displaystyle{ id_{N}}\) jest jedyną rosnącą funkcja dla której \(\displaystyle{ f (n+f(n)) =2f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\) ?
22. Na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AB}\) jest punkt \(\displaystyle{ Q}\) (różny od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)) i okrąg ten ma punkty wspólne \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) z okręgiem o średnicy \(\displaystyle{ d=2HQ}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) jest rzutem punktu \(\displaystyle{ Q}\) na \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że odcinek \(\displaystyle{ CD}\) połowi \(\displaystyle{ HQ}\).
23. Które wyrażenie jest większe \(\displaystyle{ \prod_{j=1}^{n} \frac{mj-1}{mj}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[2^{k+1}]{ \frac{1}{2n+1}}}\) gdy \(\displaystyle{ m \geq 2 }\) i \(\displaystyle{ k \geq \log_{2} (m-1).}\)
24. Punkt kratowy \(\displaystyle{ X}\) nazywa się widzialnym z \(\displaystyle{ O(0,0)}\) jeśli na odcinku \(\displaystyle{ OX}\) nie ma żadnych innych punktów kratowych (oprócz \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ X}\) ). Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieje kwadrat o boku \(\displaystyle{ n}\) we wnętrzu którego nie ma punktów widzialnych.
Tajwan
25. Kasyno
Gra polega na przemieszczaniu się kulki po sąsiadujących wierzchołkach grafu o sześciu wierzchołkach i sześciu krawędziach (boki kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) i krawędzie \(\displaystyle{ AS}\) i \(\displaystyle{ CK}\)); każdy ruch z dowolnego wierzchołka jest jednakowo prawdopodobny.
Gra rozpoczyna się od wierzchołka \(\displaystyle{ S}\), a kończy się gdy:
i) kulka powraca do \(\displaystyle{ S}\) i gracz przegrywa
lub
ii) kulka trafia do punktu \(\displaystyle{ K}\) i gracz wygrywa.
Obliczyć prawdopodobieństwo wygranej i średnią liczbę ruchów w grze.
26. Peg Game
Celem przestrzennej wersji tej gry jest aby pozostał w niej tylko jeden kołek bądź dwa sąsiednie. Wykazać, że jeśli na starcie tylko środek czworościanu jest pusty, to nie można wygrać.
Uwagi: Inna nazwa gry to: gra w kołki lub przekładanka.
27. Czy wielomian \(\displaystyle{ 1+2x+3x^2 + \sum_{j=4}^{n+1} jx^{j-1} }\) może mieć \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków rzeczywistych ?
28. Mając dane
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 = b+2 \\ b^2 = a+2 \end{cases} \\ a \neq b}\)
obliczyć \(\displaystyle{ 4ab- a^3 - b^3. }\)
Singapur
29. Ile jest różnych "optycznie" wyników przy \(\displaystyle{ m}\) rzutach kostką sześcienną ?
30. Obliczyć długość niebieskiej cięciwy (rys.)
qwe.jpg
qwe.jpg (36.72 KiB) Przejrzano 1441 razy
Bangladesz
Ostatnio zmieniony 20 maja 2024, o 11:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22288
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3768 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: a4karo »

18:    
Dodano po 3 minutach 4 sekundach:
19:    
Dodano po 1 godzinie 2 minutach 20 sekundach:
20:    
Ostatnio zmieniony 20 maja 2024, o 00:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10257
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 2379 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: Dasio11 »

a4karo pisze: 19 maja 2024, o 23:47
19:    
Mogą się powtarzać.
19:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8596
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 307 razy
Pomógł: 3357 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: kerajs »

6:    
8:    
17:    
29:    
Ostatnio zmieniony 20 maja 2024, o 11:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11613
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3172 razy
Pomógł: 751 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: mol_ksiazkowy »

30
Ukryta treść:    
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1426
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 84 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: Jakub Gurak »

mol_ksiazkowy pisze: 19 maja 2024, o 22:20 24. Punkt kratowy \(\displaystyle{ X}\) nazywa się widzialnym z \(\displaystyle{ O(0,0)}\) jeśli na odcinku \(\displaystyle{ OX}\) nie ma żadnych innych punktów kratowych (oprócz \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ X}\) ). Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieje kwadrat o boku \(\displaystyle{ n}\) we wnętrzu którego nie ma punktów widzialnych.
Przed chwilą zainteresowało mnie odrobinę to zadanie. :lol:
Mam jednak tutaj pytanie:
Czy poszukiwany kwadrat ma mieć boki równoległe(prostopadłe- bo to na jedno wychodzi) do osi układu \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\), czy może być to jednak kwadrat ukośny :?:
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8596
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 307 razy
Pomógł: 3357 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: kerajs »

4:    
7:    
25:    
28 niesprytnie:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11613
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3172 razy
Pomógł: 751 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: mol_ksiazkowy »

28 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Hir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 7 mar 2024, o 21:07
Płeć: Kobieta
wiek: 29
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 34 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: Hir »

29
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11613
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3172 razy
Pomógł: 751 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: mol_ksiazkowy »

Dużo ładnych rozwiązań ale i sporo nierozwiązanych: 1, 2, 3, 5, 9, 10, 11-16 ,21-24 i 26 i 27.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5762
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 132 razy
Pomógł: 528 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: arek1357 »

Zadanie 12...

W wakacje powinno się leżeć nad wódą (zimną) a jeszcze lepiej pływać a nie rozwiązywać zadania:

wyjdźmy od strony prawej choć nie do końca...

\(\displaystyle{ 2^p-2= \sum_{k-1}^{p-1} {p \choose k} =p \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(p-1)!}{(p-k)!(k-1)!} \cdot \frac{1}{k} =p\sum_{k=1}^{p-1} {p-1 \choose k-1} \frac{1}{k} }\)

Jest taki wzór, który zresztą łatwo wykazać, a mianowicie:

\(\displaystyle{ {p-1 \choose k} =(-1)^k \mod p}\)

Co zaowocuje nam prostszą formą powyższego:

\(\displaystyle{ p\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} =p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } \frac{-1}{2k} +p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } \frac{1}{2k-1}=-p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } \frac{1}{2k}+p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } \frac{1}{p-2k}=-p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } \frac{1}{2k}-p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } \frac{1}{2k}=-p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } \frac{1/ \cdot k^{p-2}}{k/ \cdot k^{p-2}}=-p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } \frac{k^{p-2}}{k^{p-1}}=

-p\sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} } k^{p-2} \mod p }\)


Czyli rzeczywiście:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} }k^{p-2}= \frac{2-2^p}{p} \mod p}\)

Dodano po 1 godzinie 7 minutach 25 sekundach:
zad. 16:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} dx}\)

podstawienie:

\(\displaystyle{ x= \frac{1-t}{1+t} }\)

\(\displaystyle{ dx= \frac{-2}{(1+t)^2} dt}\)

\(\displaystyle{ x^2=\left(\frac{1-t}{1+t} \right)^2 }\)

co daje:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} dx=-2 \int_{1}^{0} \frac{\ln \frac{2}{1+t} }{2(1+t^2)}dt= \int_{0}^{1} \frac{\ln 2-\ln (1+t)}{1+t^2} dt= }\)

\(\displaystyle{ \ln 2 \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^2} - \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+t)}{1+t^2} dt}\)

otrzymamy więc:

\(\displaystyle{ 2\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} dx = \ln 2 \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^2}=\ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} }\)

czyli:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} dx= \frac{\pi \ln 2}{8} }\)

Dodano po 1 godzinie 40 minutach 33 sekundach:
zad. 27

Wielomian po kilku łatwych przekształceniach można zapisać tak:

\(\displaystyle{ w(x)= \frac{(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+1}{(1-x)^2} , x \neq 1}\)

wielomian ten ma miejsca zerowe tam gdzie:

\(\displaystyle{ h(x)=(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+1}\)

ma miejsca zerowe, żeby ten wielomian miał \(\displaystyle{ n}\) miejsc zerowych w takim wielomianie musi jego pochodna mieć \(\displaystyle{ n+1}\) różnych ekstremów czyli tyle miejsc zerowych...

ale:

\(\displaystyle{ h'(x)=(n+1)(n+2)x^{n+1}-(n+1)(n+2)x^n=0}\)

czyli:

\(\displaystyle{ x^n(x-1)=0}\)

a wychodzi co najwyżej dwa w każdym z przypadków...

ale ani:

\(\displaystyle{ 1+2x+3x^2}\)

nie ma dwóch miejsc zerowych rzeczywistych

ani:

\(\displaystyle{ 1+2x+3x^2+4x^3}\)

nie ma trzech miejsc zerowych rzeczywistych...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22288
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3768 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: a4karo »

27:    
Dodano po 27 minutach 46 sekundach:
5:    
Dodano po 3 minutach 50 sekundach:
3:    
Dodano po 2 minutach 48 sekundach:
W 2 brakuje chyba słowa "na"?
A poza tym dla współliniowych punktów się nie da
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11613
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3172 razy
Pomógł: 751 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: mol_ksiazkowy »

2 cd
W 2 brakuje chyba słowa "na"?
oczywiście
dla współliniowych punktów się nie da
bez wątpienia

24 cd -->dowolny

5 cd
Ukryta treść:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22288
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3768 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: a4karo »

10:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5762
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 132 razy
Pomógł: 528 razy

Re: [MIX] Mix zadań mieszanych

Post autor: arek1357 »

zad 21 spełnia:

\(\displaystyle{ f(n)=n+k , k=0,1,2,3,...}\)

Dodano po 2 minutach 9 sekundach:
W zadaniu 9 jest jakaś lipa brakozałożeniowa...
ODPOWIEDZ