\(\displaystyle{ f(0)=f(1)=1}\)
\(\displaystyle{ |f(a)-f(b)| < |a-b|}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ a \neq b \in [0,1].}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ |f(a)-f(b)| < \frac{1}{2}.}\)
Chiny
2. Czy można tak narysować dwa trójkąty wpisane w dany okrąg, aby istniał punkt wewnątrz obydwu z nich i którego odległości od każdego z wierzchołków jednego z trójktów jest mniejsza niż odległości tego punktu od wierzchołków drugiego trójkąta ?
3. Dany jest zbiór \(\displaystyle{ X,}\) który ma \(\displaystyle{ 6n}\) punktów, które są na jednej prostej, przy czym \(\displaystyle{ 4n}\) pomalowano na niebiesko, zaś \(\displaystyle{ 2n}\) na czerwono. Udowodnić, że istnieje odcinek, na którym jest \(\displaystyle{ 2n}\) punktów niebieskich i \(\displaystyle{ n}\) punktów czerwonych.
4. Narysowana jest łamana zwyczajna zbudowana z odcinków pionowych i poziomych (każdy wierzchołek łamanej jest punktem kratowym jak i każdy punkt kratowy należy do łamanej), zaczynająca się w lewym górnym rogu, a kończąc w prawym dolnym rogu. Ta łamana dzieli prostokąt (którego przekątną wyznacza początek i koniec łamanej) na dwa typy obszarów: czarne, które mają "wejście" z góry lub z prawej i białe które mają "wejście" z dołu lub z lewej. Wykazać że suma pól obszarów białych jest równa sumie pól obszarów czarnych.
przykład
- kratka.jpg (8.23 KiB) Przejrzano 1862 razy
Uwagi: nie zakładamy \(\displaystyle{ x \neq y}\).
Takim jest np. dowolny zbiór liczb nieparzystych.
6. Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie zbiorem tych bijekcji \(\displaystyle{ f}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,n \}}\) w siebie, które:
i) \(\displaystyle{ f(k) \leq k+1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k,}\)
ii) \(\displaystyle{ f(k) \neq k}\) dla \(\displaystyle{ 1< k \leq n.}\)
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że \(\displaystyle{ f (1) \neq 1}\) dla losowo wziętej \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ Y}\).
7. Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y^2+z^3 = A \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^3}= \frac{1}{A} \\ xy^2z^3 = A^2 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb całkowitych (\(\displaystyle{ A \neq 0}\) jest ustalone).
8. Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b}\) różnica \(\displaystyle{ a-b}\) jest liczbą pierwszą, zaś \(\displaystyle{ ab}\) jest kwadratem liczby całkowitej ?
9. Udowodnić, że wszystkie trójkąty pitagorejskie, których przyprostokątne różnią się o 1, są wygenerowane przez \(\displaystyle{ f^k(3,4,5)}\), (\(\displaystyle{ k }\)-ta iteracja \(\displaystyle{ f}\)), gdzie \(\displaystyle{ f(x,x+1,z)= (3x+2z+1, 3x+2z+2, 4x+3z+2)}\).
10. Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, b}\) spełniaja zależność \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}= \sqrt{3+ab }}\). Udowodnić, że choć jedna z tych liczb jest niewymierna.
11. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f: \RR \to \ZZ}\) takie, że:
\(\displaystyle{ f(x+y) < f(x) + f(y)}\)
\(\displaystyle{ f(f(x)) = \lfloor x \rfloor + 2}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
Macedonia
12. Wewnątrz prostokąta \(\displaystyle{ 20 \times 25}\) rozmieszczono dowolnie \(\displaystyle{ 120}\) kwadratów jednostkowych. Wykazać, że można wewnątrz prostokąta umieścić koło o średnicy \(\displaystyle{ 1}\), które będzie rozłączne z każdym z tych kwadratów.
13. Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=y+2 \\ y^2= z+2 \\z^2=x+2. \end{cases}}\)
Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ x+y+z}\) jest całkowitą.
14. Ile maksymalnie figur można ustawić na szachownicy \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) w ten sposób, aby żadne dwie z nich się nie atakowały (w sensie bycia skoczkiem lub gońcem) ?
przykład
- 1b-1A-1086x1536.jpg (76 KiB) Przejrzano 1862 razy
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} &\text{gdy }\sqrt{a_n} \in \ZZ \\ a_n + 3&\text{gdy } \sqrt{a_n} \notin \ZZ. \end{cases}}\)
Dla jakich \(\displaystyle{ a_0}\) ciąg się "pętli" ?
16. Tablica \(\displaystyle{ m \times n }\) jest wypełniona liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), przy czym każda z nich występuje dokładnie \(\displaystyle{ m}\) razy. Udowodnić, że można tak poprzestawiać liczby w kolumnach, żeby w każdym wierszu, każda z liczb \(\displaystyle{ 1,...,n }\) występowała dokładnie jeden raz.
17. Niech \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie liczbą tych podzbiorów \(\displaystyle{ X }\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,n \}}\), o sumie elementów równej \(\displaystyle{ n}\) (tj. \(\displaystyle{ \sum_{x \in X} x = n}\)). Czy istnieje nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ m}\), że \(\displaystyle{ f(m)=f(m+1)}\) ? Wyznaczyć najmniejszą z nich.
18. Na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ 2n+1}\) punktów i żadne trzy z nich nie są współliniowe, jak też żadne cztery nie są współokręgowe. Okrąg nazywa się fajnym, gdy należą do niego trzy punkty, \(\displaystyle{ n-1}\) jest wewnątrz niego, a \(\displaystyle{ n-1}\) na zewnątrz. Wykazać, że liczba fajnych okręgów jest tej samej parzystości co \(\displaystyle{ n}\).
19. Są funkcje \(\displaystyle{ f, g : [2,4] \to [2,4]}\), które
\(\displaystyle{ f(g(x))=g(f(x))= x \\ f(x)g(x)=x^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in [2,4].}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ f(x)=g(x)=x}\) dla \(\displaystyle{ x \in [2,4]}\).
20. Udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x})&\text{gdy } x \neq 0 \\ 0 &\text{gdy } x=0 \end{cases}}\)
ma pochodna \(\displaystyle{ f'}\), która nie jest ciągła w zerze.
21. Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ (5^n-3)! }\) kończy się \(\displaystyle{ \frac{5^n-4n-1}{4}}\) zerami.
22. Na płaszczyźnie dane jest \(\displaystyle{ 3n}\) punktów, wśród których nie ma trzech współliniowych. Dowieść, że istnieje \(\displaystyle{ n}\) rozłącznych trójkątów o wierzchołkach w danych punktach.
23. Trzy cięciwy okręgu mają wspólny koniec i zbudowano trzy okręgi o tych średnicach, które każde dwie mają ze sobą punkty wspólne. Wykazać, że te trzy punkty są współliniowe.
24. Które z tożsamości \(\displaystyle{ f({\bar{z}}) = \bar{f(z)} }\) są spełnione dla funkcji \(\displaystyle{ \sin(), \cosh(), \exp()}\) ?
25. Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+\sqrt{xy} = 19 \\ x^2+y^2+xy=133. \end{cases}}\)
26. Na okręgu znajduje się \(\displaystyle{ n > 3}\) punktów, każdy z nich pomalowany jest na czerwono lub niebiesko. Dla każdej trójki kolejnych punktów \(\displaystyle{ P, Q, R}\), jeśli \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\) są pomalowane na ten sam kolor, to punkt \(\displaystyle{ Q}\) można przemalować (z czerwonego na niebieski lub z niebieskiego na czerwony). Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) z dowolnego układu kolorów punktów można zrobić układ, w którym wszystkie punkty są w tym samym kolorze ?
27. Ile jest nieizomorficznych grafów o sześciu wierzchołkach, które nie są drzewami ?
28. Hak to figura (rodzaj polimina), zbudowana z sześciu kwadratów jednostkowych, którą można zilustrować macierzą
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&x&x\\x&0&x\\x&0&0\end{array}\right].}\)
Dla jakich \(\displaystyle{ m, n}\) można całkowicie wypełnić szachownicę \(\displaystyle{ m \times n}\) hakami ? (Haki nie mogą nakładać się na siebie, jak i żaden ich fragment nie może "wystawać" poza szachownicę)
29. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^3=2y(x^2+1)-(z^2+1)\\ 2y^4=3z(y^2+1)-2(x^2+1) \\ 2z^5=4x(z^2+1)-3(y^2+1).\end{cases}}\)
30. W Krakowie żyje 12 samotnych matexów. Każdy z nich ma własne mieszkanie w innej dzielnicy Krakowa. Ludzie z matexu maja mało wyobraźni, więc ich mieszkania są albo całe białe, albo całe zielone. Pomiędzy niektórymi spośród nich zawiązały się przyjaźnie. Ponieważ samotne matexy nie chcą być samotne, wiec wymyśliły nast֒ępujący pomysł: każdy miesiąc jest przypisany do jednego spośród nich. Każdy matex w swoim miesiącu zaprasza do swojego mieszkania swoich przyjaciół. Wtedy rozpoczyna się impreza, która trwa aż do końca miesiąca. Na koniec imprezy właściciel mieszkania zmienia kolor ścian jeżeli ponad połowa jego przyjaciół ma inny kolor ścian niż on. Udowodnić, że w pewnym momencie nikt już nie b֒edzie mógł przemalować swoich ścian.
