[MIX] MIX na sezon bez szkoły
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- rochaj
- Użytkownik
- Posty: 411
- Rejestracja: 3 lip 2012, o 23:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: komp
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 2 razy
[MIX] MIX na sezon bez szkoły
1. Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ \log _{x^{2}-3}(x^{2}+6x)<\log _{x}(x+2)}\).
2. Niech będzie \(\displaystyle{ P}\) punktem wewnątrz trójkata \(\displaystyle{ ABC}\). Niech \(\displaystyle{ \angle PAC, \angle PBA, \angle PCB}\) będa odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) . Znaleźć minimum \(\displaystyle{ ~ \frac{\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma}{\ctg\frac{A}{2}+\ctg\frac{B}{2}+\ctg\frac{C}{2}}.}\)
3 Niech \(\displaystyle{ p>2}\) bedzie liczbą pierwsza a \(\displaystyle{ k}\) liczbą naturalną . Pokaż że
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{k}\binom{k(p-1)}{j(p-1)}\equiv 2+p(1-k) (\mod p^{2}).}\)
4. Niech \(\displaystyle{ a_0,a_1, ...,a_n, b_0,b_1, ...b_n}\) będą liczbami zespolonymi. Wykaż że \(\displaystyle{ \Re\left(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_{k}}{b_{k}}\right)\le{\frac{1}{3n+2}\left(\sum\limits_{k=0}^{n}{\vert a_{k}\vert^{2}+\frac{9n^{2}+6n+2}{2}\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}{\vert b_{k}\vert^{2}}}\right) }.}\)
5. Niech \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Znaleźć \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2n}}}\).
6. Zbadać okresowość i znaleźć ewentualnie okres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\left|\sin^{3}\frac{x}{2}\right|+\left|\cos^{5}\frac{x}{5}\right|}\).
7. Pokazać że w dowolnym trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\) mamy:
\(\displaystyle{ \cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{B-C}{2}+\cos \frac{C-A}{2}\ge \frac{2}{\sqrt{3}}(\sin A+\sin B+\sin C).}\)
2. Niech będzie \(\displaystyle{ P}\) punktem wewnątrz trójkata \(\displaystyle{ ABC}\). Niech \(\displaystyle{ \angle PAC, \angle PBA, \angle PCB}\) będa odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) . Znaleźć minimum \(\displaystyle{ ~ \frac{\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma}{\ctg\frac{A}{2}+\ctg\frac{B}{2}+\ctg\frac{C}{2}}.}\)
3 Niech \(\displaystyle{ p>2}\) bedzie liczbą pierwsza a \(\displaystyle{ k}\) liczbą naturalną . Pokaż że
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{k}\binom{k(p-1)}{j(p-1)}\equiv 2+p(1-k) (\mod p^{2}).}\)
4. Niech \(\displaystyle{ a_0,a_1, ...,a_n, b_0,b_1, ...b_n}\) będą liczbami zespolonymi. Wykaż że \(\displaystyle{ \Re\left(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_{k}}{b_{k}}\right)\le{\frac{1}{3n+2}\left(\sum\limits_{k=0}^{n}{\vert a_{k}\vert^{2}+\frac{9n^{2}+6n+2}{2}\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}{\vert b_{k}\vert^{2}}}\right) }.}\)
5. Niech \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Znaleźć \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2n}}}\).
6. Zbadać okresowość i znaleźć ewentualnie okres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\left|\sin^{3}\frac{x}{2}\right|+\left|\cos^{5}\frac{x}{5}\right|}\).
7. Pokazać że w dowolnym trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\) mamy:
\(\displaystyle{ \cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{B-C}{2}+\cos \frac{C-A}{2}\ge \frac{2}{\sqrt{3}}(\sin A+\sin B+\sin C).}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2021, o 18:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Re: [MIX] MIX na sezon bez szkoły
5
6. okres = \(\displaystyle{ 20\pi}\)
1. z logarytmami czy to można elementarnie >?
Ukryta treść:
1. z logarytmami czy to można elementarnie >?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5747
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] MIX na sezon bez szkoły
Zadanie 3.
Interesuje mnie jeszcze zadanie 1 może ktoś badał, że ta funkcja utworzona na bazie tego wyrażenia z logarytmów jest malejąca chyba i gdzieś tam przecina oś OX podobno tylko raz, spostrzeżenia mile widziane...
To dla ludzi o mocnych nerwach...
Ukryta treść:
Interesuje mnie jeszcze zadanie 1 może ktoś badał, że ta funkcja utworzona na bazie tego wyrażenia z logarytmów jest malejąca chyba i gdzieś tam przecina oś OX podobno tylko raz, spostrzeżenia mile widziane...
To dla ludzi o mocnych nerwach...
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: [MIX] MIX na sezon bez szkoły
1. Zapiszmy nierówność \(\displaystyle{ \log _{x^{2}-3}(x^{2}+6x)<\log _{x}(x+2)}\) w postaci
\(\displaystyle{ \frac{\log(x^{2}+6x)}{\log(x^{2}-3)}<\frac{\log(x+2)}{\log x}}\)
Dziedziną tego wyrażenie jest zbiór \(\displaystyle{ (\sqrt{3},2)\cup(2.\infty)}\)
Dla \(\displaystyle{ x\in (\sqrt{3},2)}\) lewa strona jest ujemna a prawa dodatnia, więc nierówność jest spełniona.
Dla `x>2`
\(\displaystyle{ \frac{\log(x^{2}+6x)}{\log(x^{2}-3)}=\frac{\log((x+2)^2+2x-4)}{\log(x^{2}-3)}
>\frac{\log (x+2)^2}{\log x^2}=\frac{\log(x+2)}{\log x}
}\)
więc nierównośc nie zachodzi
Dodano po 2 godzinach 51 minutach 40 sekundach:
\(\displaystyle{ \frac{\log(x^{2}+6x)}{\log(x^{2}-3)}<\frac{\log(x+2)}{\log x}}\)
Dziedziną tego wyrażenie jest zbiór \(\displaystyle{ (\sqrt{3},2)\cup(2.\infty)}\)
Dla \(\displaystyle{ x\in (\sqrt{3},2)}\) lewa strona jest ujemna a prawa dodatnia, więc nierówność jest spełniona.
Dla `x>2`
\(\displaystyle{ \frac{\log(x^{2}+6x)}{\log(x^{2}-3)}=\frac{\log((x+2)^2+2x-4)}{\log(x^{2}-3)}
>\frac{\log (x+2)^2}{\log x^2}=\frac{\log(x+2)}{\log x}
}\)
więc nierównośc nie zachodzi
Dodano po 2 godzinach 51 minutach 40 sekundach:
Tak, to dość oczywiste. Ale wyznacz okres podstawowy
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tu
- Podziękował: 42 razy
Re: [MIX] MIX na sezon bez szkoły
2. Minimum wynosi 1, czyli minimum sumy \(\displaystyle{ \ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma}\). Osiągane jest one wtedy gdy P pokrywa się z środkiem okręgu wpisanego.