Matematyka.pl

Lemat: \(\displaystyle{ \left( \frac{2k-1}{2k} \right)^2\le \frac{3k-2}{3k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2\dots}\)
Po wymnożeniu stronami tezy lematu dla \(\displaystyle{ k=1,2\dots n}\) kolejno, dostajemy
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}\right)^2 \le \frac{1}{3n+1}}\) i po spierwiastkowaniu tej nierówności stronami otrzymujemy tezę.

Ale to się prawie nie liczy, bo podobnie gdzieś rozwiązywał dec1 i to zapamiętałem - zresztą w tym samym wątku, do którego link podałem.

Trochę brzydko ale muszę wymnożyć mianowniki:

\(\displaystyle{ \frac{3x-x^3}{1-3x^2}+ \frac{3y-y^3}{1-3y^2}+\frac{3z-z^3}{1-3z^2}=\frac{3x-x^3}{1-3x^2} \cdot \frac{3y-y^3}{1-3y^2} \cdot \frac{3z-z^3}{1-3z^2}}\) / razy mianowniki


\(\displaystyle{ 9\left( x^3y^2z^2+x^2y^3z^2+x^2y^2z^3\right)-3\left( x^3y^2+x^3z^2+x^2y^3+x^2z^3+y^3z^2+y^2z^3\right)+9\left( x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2\right)-27\left( x^2y^2z+x^2yz^2+xy^2z^2 \right)+x^3+y^3+z^3-3\left( x+y+z\right)=xyz\left[ x^2y^2z^2-3\left( x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\right)+9\left( x^2+y^2+z^2\right)-27 \right]}\)


\(\displaystyle{ 9x^2y^2z^2\left( x+y+z\right) -3\left( x^3y^2+x^3z^2+x^2y^3+x^2z^3+y^3z^2+y^2z^3\right)+9\left( x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2\right)-27xyz\left( xy+xz+yz\right)+\left( x+y+z\right)^3-3\left( x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2\right)-6xyz-3xyz=xyz \left\{ x^2y^2z^2-3\left( x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\right)+9\left[ \left( x+y+z\right)^2-2\left( xy+xz+yz\right) \right]-27 \right\}}\)

podstawiamy:

\(\displaystyle{ x+y+z=xyz}\)

\(\displaystyle{ 9x^3y^3z^3-3\left( x^3y^2+x^3z^2+x^2y^3+x^2z^3+y^3z^2+y^2z^3\right)+6\left( x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2\right)-27xyz\left( xy+xz+yz\right)+x^3y^3z^3-9xyz=}\)
\(\displaystyle{ xyz\left\{ x^2y^2z^2-3\left[ \left( xy+xz+yz\right)^2-2\left( x^2yz+xy^2z+xyz^2\right) \right]+9\left[ x^2y^2z^2-2\left( xy+xz+yz\right) \right] -27 \right\}}\)


opuszczamy nawiasy i skracamy:

\(\displaystyle{ 10x^3y^3z^3-27xyz\left( xy+xz+yz \right)-9xyz-3\left( x^3y^2+x^3z^2+x^2y^3+x^2z^3+y^3z^2+y^2z^3\right)+6\left( x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2\right)=x^3y^3z^3-3xyz\left(xy+xz+yz \right)^2+6xyzxyz\left( x+y+z\right)+9x^3y^3z^3-18xyz\left( xy+xz+yz\right)-27xyz}\)

Przenosimy i skracamy dalej:

\(\displaystyle{ -6x^3y^3z^3-9xyz\left( xy+xz+yz\right)+18xyz-3\left( x^3y^2+x^3z^2+x^2y^3+x^2z^3+y^3z^2+y^2z^3\right)+6\left( x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2\right)+3xyz\left( xy+xz+yz\right)^2=0/:(-3)}\)


(*)

\(\displaystyle{ 2x^3y^3z^3+3xyz\left( xy+xz+yz\right)-6xyz+x^3y^2+x^3z^2+x^2y^3+x^2z^3+y^3z^2+y^2z^3-2\left(x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2\right) -xyz\left( xy+xz+yz\right)^2=0}\)

No coraz ładniej to wygląda ale nie do końca , zajmiemy się teraz:

(1)

\(\displaystyle{ x^3y^2+x^3z^2+x^2y^3+x^2z^3+y^3z^2+y^2z^3=\left( xy+xz+yz\right)^2\left( x+y+z\right)-5xyz\left( xy+xz+yz\right)-2xyz\left( x^2+y^2+z^2\right)=xyz\left( xy+xz+yz\right)^2-5xyz\left( xy+xz+yz\right)-2xyz\left[ \left( x+y+z\right)^2-2\left( xy+xz+yz\right) \right]=xyz\left( xy+xz+yz\right)^2-5xyz\left( xy+xz+yz\right)-2xyz\left( x+y+z\right)^2+4xyz\left( xy+xz+yz\right)= xyz\left( xy+xz+yz\right)^2-5xyz\left( xy+xz+yz\right)-2x^3y^3z^3+4xyz\left( xy+xz+yz\right)=}\)

\(\displaystyle{ =xyz\left( xy+xz+yz\right)^2-xyz\left( xy+xz+yz\right)-2x^3y^3z^3}\)


teraz zajmijmy się:

(2)

\(\displaystyle{ x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2=\left( xy+xz+yz\right)\left( x+y+z\right)-3xyz=}\)

\(\displaystyle{ =xyz\left( xy+xz+yz\right)-3xyz}\)


a teraz (1) i (2) podstawmy do (*) i otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2x^3y^3z^3+3xyz\left( xy+xz+yz\right)-6xyz+ xyz\left( xy+xz+yz\right)^2-xyz\left( xy+xz+yz\right)-2x^3y^3z^3-2\left[ xyz\left( xy+xz+yz\right)-3xyz\right] -xyz\left( xy+xz+yz\right)^2=}\)

\(\displaystyle{ 2x^3y^3z^3+3xyz\left( xy+xz+yz\right)-6xyz+ xyz\left( xy+xz+yz\right)^2-xyz\left( xy+xz+yz\right)-2x^3y^3z^3-2xyz\left( xy+xz+yz\right)+6xyz-xyz\left( xy+xz+yz\right)^2=0}\)

(wszystko się skraca)

cnd...

W tym zadaniu to tylko przekształcenia i wielomiany symetryczne

Jak zresztą widać , no rozpisałem dość dokładnie już nie zrobiłem tego błędu z zadania powyższego
w którym nie rozpisałem dokładnie nad czym ubolewam i sypię na głowę popiół!!!

Mamy na podstawie aksjomatu 3:

\(\displaystyle{ 99\circ 100=0\circ 1+99}\)

Niech \(\displaystyle{ y=-0.5\circ 0.5}\).

Wtedy, korzystając kolejno z aksjomatów 2 i 1:

\(\displaystyle{ y\cdot(-1)=0.5\circ -0.5=-0.5\circ 0.5=y}\)

czyli \(\displaystyle{ -y=y}\). Czyli \(\displaystyle{ y=0}\).

Teraz \(\displaystyle{ 0.5=y+0.5=0\circ 1}\), więc

\(\displaystyle{ 99\circ 100=99+0\circ 1=99.5}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x \equiv 2 \ (mod \ 6)\\ 3x \equiv 6 \ (mod \ 10) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1 \ (mod \ 3)\\ x \equiv 2 \ (mod \ 10) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x \equiv -8 \ (mod \ 30)}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 22 \ (mod \ 30)}\)

mol_ksiazkowy pisze: ↑28 sty 2017, o 11:11 5 cd
ale chodzi o ciagi o wyrazach całkowitych...

Ta wskazówka nie pomaga, skoro można wskazać kontrprzykład:
np: \(\displaystyle{ a_1=b_1 }\) i różnice ciągów maja przeciwne znaki
Możliwe, że chodziło o nieskończone ciągi o wyrazach całkowitych i których różnice mają ten sam znak, a wtedy gdy istnieje jeden wspólny wyraz: \(\displaystyle{ a_x=b_y}\) to istnieje także nieskończony ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ c_1=a_x=b_y}\) o różnicy \(\displaystyle{ r_c=r_ar_b}\)

Jeśli dobrze rozumiem treść zadania, to dla 4 żołnierzy są 4 możliwe ustawienia (dolny rząd to przedni rząd w dwuszeregu):
\(\displaystyle{ 1-2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1-3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2-1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3-1 \\
3-4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2-4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4-3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4-2 }\)
z czego połowa to lustrzane odbicia pozostałych.
Liczba ustawień (zliczają je liczby Catalana) to: \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{ {2n \choose n} }{n+1} }\)