Matematyka.pl

Zadanie 7:

mamy wykazać, że równanie zachodzi wtedy gdy \(\displaystyle{ n}\) jest iloczynem dwóch liczb pierwszych bliźniaczych:

(1) \(\displaystyle{ \sigma (n)\varphi(n)=n^2-2n-3}\)

wypiszmy wzory:

\(\displaystyle{ n=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}}\)

\(\displaystyle{ \sigma (n)= \frac{p_{1}^{\alpha_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdot ... \cdot \frac{p_{k}^{\alpha_{k}+1}-1}{p_{k}-1} }\)

\(\displaystyle{ \varphi (n)=p_{1}^{\alpha_{1}-1} \cdot ... \cdot p_{k}^{\alpha_{k}-1}\left( p_{1}-1\right) \cdot ... \cdot \left( p_{k}-1\right) }\)

jak podstawimy to do (1) i poustawiamy to otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{k}^{\alpha_{k}} +3=p_{1}^{2\alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{k}^{2\alpha_{k}}-\left(p_{1}^{2\alpha_{1}}-p_{1}^{\alpha_{1}-1} \right) \cdot ... \cdot \left(p_{k}^{2\alpha_{k}}-p_{k}^{\alpha_{k}-1} \right)}\)

można założyć, że:

\(\displaystyle{ p_{1}<...<p_{k}}\)

jeżeli założymy, że:

\(\displaystyle{ p_{1}=2}\)

to zauważymy, że lewa strona jest nieparzysta a prawa parzysta czyli sprzeczność, znaczy, że:

\(\displaystyle{ p_{1}>2}\)

Jeżeli założymy, że jeżeli jakieś:

\(\displaystyle{ p_{i} >3 \wedge \alpha_{i} \ge 2}\)

to:

\(\displaystyle{ p_{i} |3}\)

sprzeczność...

więc potęgi przy liczbach pierwszych większych od \(\displaystyle{ 3}\) muszą być: \(\displaystyle{ \le 1}\)

Jeżeli założymy teraz, że:

\(\displaystyle{ k \ge 3}\)

to:

\(\displaystyle{ p_{1}^2 \cdot ... \cdot p_{k}^2-\left( p_{1}^2-1\right) \cdot \left( p_{2}^2-1\right) \cdot \left( p_{3}^2-1\right) \cdot ... \cdot \left( p_{k}^2-1\right) \ge \left[ p_{1} \cdot ... \cdot p_{k}\right] \cdot p_{3} \cdot S>2 \cdot p_{1} \cdot ... \cdot p_{k}+3}\)

a zatem sprzeczność, musimy założyć, że: \(\displaystyle{ k \le 2}\)

teraz zastanówmy się czy trójka może mieć potęgę większą niż jeden

wiedomo już, że: \(\displaystyle{ k \le 2}\)

zapiszmy to równanie:

\(\displaystyle{ 2 \cdot 3^sp+3=3^{2s}p^2-\left( 3^{2s}-3^{s-1}\right) \left( p^2-1\right) }\)

po przekształceniach otrzymamy, że:

\(\displaystyle{ 3^{s-1}p^2-2 \cdot 3^sp+3^{2s}-3^{s-1}-3=0}\)

po rozwiązaniu otrzymamy, że:

\(\displaystyle{ p=3 \cdot \left( 1 \pm \sqrt{3^s-3^{2s-1}+3^{s-2}+1} \right) }\)

jak widać liczba pierwsza byłaby iloczynem dwóch liczb \(\displaystyle{ >1}\) czyli sprzeczność a w najgorszym razie wynosiłaby zero...

więc sprzeczność, musi być:

\(\displaystyle{ n=p_{1} \cdot p_{2} \vee n=p}\)

sprawdźmy czy może zachodzić ten drugi przypadek, czyli czy może być:

\(\displaystyle{ n=p }\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2p+3=p^2-\left( p^2-1\right) =1}\)

otóż bzdura...

musi być więc:

\(\displaystyle{ 2p_{1}p_{2}+3=p_{1}^2p_{2}^2-\left( p_{1}^2-1\right) \left( p_{2}^2-1\right) }\)

po uproszczeniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2p_{1}p_{2}+3=p_{1}^2+p_{2}^2-1}\)

lub:

\(\displaystyle{ \left( p_{1}-p_{2} \right)^2=4 }\)

co daje nam:

\(\displaystyle{ p_{2}-p_{1}=2}\) bo \(\displaystyle{ p_{2} > p_{1}}\)

więc liczby te są bliźniacze...

cnd...

w drugą stronę jest trywialne...

14

Ad. 14 Przecież od razu widać, że jeśli założenia ciągłości nie ma, to każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy'ego obcięte do rzeczywistych dodatnich działa; trudniej wykazać, że nie ma żadnych innych (i nawet nie wiem, czemu to prawda, dlategom nie pisał). Bardzo nieładnie dodawać w uwagach lub wskazówkach niewyłożone wcześniej założenia (vide ciągłość). Foch.

Jasne, że są . Wystarczy dodać stałą. Pytanie czy to już wszystko

14 cd 12 cd

Treść zadania nie zmieniła się.
arek1357:

Bardzo przepraszam ale z zadaniem 14-stym nie miałem i nie mam nic wspólnego...

Zadanie 4:

W odnośnym artykule nie rozwiązuje się zadania czwartego, bo on nie jest o rozkładzie przestrzeni na okręgi, tylko na ich homeomorficzne kopie.

Wystarczy zauważyć, że przestrzeń \(\displaystyle{ \RR ^{3} \setminus \left\{\left( 0,0,0\right) \right\} }\) jest sumą sfer \(\displaystyle{ S_r}\), gdzie \(\displaystyle{ r \in \RR _{+} }\), o środku w początku układu i o promieniu \(\displaystyle{ r}\); a każdą taką sferę \(\displaystyle{ S_r}\) można rozłożyć na okręgi leżące w płaszczyznach prostopadłych do osi \(\displaystyle{ z}\) (wliczając w to dwa okręgi o promieniu równym zero, aby pokryć po jednym wierzchołku takiej sfery). Pozostaje zatem to wysumować po \(\displaystyle{ \left( r,a\right) \in \left(\RR _{+} \times \left[ 0,r\right] \right)}\) otrzymując rozkład \(\displaystyle{ \RR ^{3} \setminus \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}}\) na okręgi, i pozostaje dodać tutaj okrąg o środku w początku układu i o promieniu zero \(\displaystyle{ .\square}\)

Okrąg o promieniu zero to nie okrąg, tylko punkt (formalnie: singleton punktu).

Ano racja, bo idąc tą drogą to moglibyśmy wysumować przestrzeń trójwymiarową podzbiorami jednopunktowymi...

Dasio11 pisze: ↑5 kwie 2024, o 10:47 W odnośnym artykule nie rozwiązuje się zadania czwartego, bo on nie jest o rozkładzie przestrzeni na okręgi, tylko na ich homeomorficzne kopie.

Masz rację, powinnam zamiast tego napisać, że rozwiązanie zadania 4 jest w

mol_ksiazkowy pisze: ↑31 mar 2024, o 15:01
12 cd

Ukryta treść:    

A gdy \(\displaystyle{ n=4 ?}\) czy to będzie \(\displaystyle{ 2F_{n+1}}\)

Tak.

28 cd