Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Niech \(\displaystyle{ \angle ACN=2\alpha }\), środek AB to punkt 0, zaś przecięcie PQ z ON będzie punktem R.
Odcinek ON jest prostopadły do CN więc \(\displaystyle{ \angle C0N=90^0-2\alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \angle CRN=2\alpha }\). Trójkąt AON jest równoramienny (bo dwa boki są promieniami półokręgu. więc \(\displaystyle{ \angle 0AN= \angle ONA=45^0-\alpha }\), a stąd \(\displaystyle{ \angle RPN=45^0 }\). Ponadto \(\displaystyle{ \angle RNQ=45^0+\alpha }\) więc i \(\displaystyle{ \angle RQN=45^0 }\). Trójkąt NPQ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.
24?:
Niech planszą będzie szachownica, przy czym dla nieparzystych n niech w rogach będą pola białe . Ruch wieży to przejście na pole o innej barwie.
Na szachownicach o parzystym n obejście szachownicy (pole startu to pole mety) zawsze jest możliwe, a przejście między wybranymi polami tylko gdy mają przeciwną barwę.
Na szachownicach o nieparzystym n obejście szachownicy nie jest możliwe, a przejście między wybranymi polami tylko gdy mają barwę białą.
Ad. 14 Przecież od razu widać, że jeśli założenia ciągłości nie ma, to każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy'ego obcięte do rzeczywistych dodatnich działa; trudniej wykazać, że nie ma żadnych innych (i nawet nie wiem, czemu to prawda, dlategom nie pisał). Bardzo nieładnie dodawać w uwagach lub wskazówkach niewyłożone wcześniej założenia (vide ciągłość). Foch.
Jasne, że są . Wystarczy dodać stałą. Pytanie czy to już wszystko
Ostatnio zmieniony 1 kwie 2024, o 07:40 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
Bardzo nieładnie dodawać w uwagach lub wskazówkach niewyłożone wcześniej założenia (vide ciągłość). Foch.
Treść zadania nie zmieniła się. arek1357:
..., jak zmienią się warunki zadania to wtedy można i zmieniać odpowiedzi...
Zwykle odpowiadający zużywa jak najmniej energii na odpowiedź, ale tak aby odpowiedź zmieściła się w strukturach zadania...
12 cd
Ukryta treść:
A gdy \(\displaystyle{ n=4 ?}\) czy to będzie \(\displaystyle{ 2F_{n+1}}\)
Paul Bankston, Ralph Fox - Topological Partitions of Euclidean Space by Spheres. The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 6 (Jun. - Jul., 1985), strony 423-424. (wystarczy położyć tam n = 1).
Wystarczy zauważyć, że przestrzeń \(\displaystyle{ \RR ^{3} \setminus \left\{\left( 0,0,0\right) \right\} }\) jest sumą sfer \(\displaystyle{ S_r}\), gdzie \(\displaystyle{ r \in \RR _{+} }\), o środku w początku układu i o promieniu \(\displaystyle{ r}\); a każdą taką sferę \(\displaystyle{ S_r}\) można rozłożyć na okręgi leżące w płaszczyznach prostopadłych do osi \(\displaystyle{ z}\) (wliczając w to dwa okręgi o promieniu równym zero, aby pokryć po jednym wierzchołku takiej sfery). Pozostaje zatem to wysumować po \(\displaystyle{ \left( r,a\right) \in \left(\RR _{+} \times \left[ 0,r\right] \right)}\) otrzymując rozkład \(\displaystyle{ \RR ^{3} \setminus \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}}\) na okręgi, i pozostaje dodać tutaj okrąg o środku w początku układu i o promieniu zero \(\displaystyle{ .\square}\)
Dasio11 pisze: ↑5 kwie 2024, o 10:47
W odnośnym artykule nie rozwiązuje się zadania czwartego, bo on nie jest o rozkładzie przestrzeni na okręgi, tylko na ich homeomorficzne kopie.
Masz rację, powinnam zamiast tego napisać, że rozwiązanie zadania 4 jest w
Ukryta treść:
Szulkin, Andrzej. \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) is the union of disjoint circles. Amer. Math. Monthly 90 (1983), no. 9, 640–641.