Matematyka.pl

1. Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ f''(x) = f(x)f'(x).}\)
2. Czy istnieje funkcja, która nie jest sumą skończonej liczby funkcji okresowych ?
3. Kołem wpisanym w figurę ograniczoną \(\displaystyle{ F}\) nazywa się koło o możliwie największej średnicy zawarte w tej figurze (a koło opisane jako koło o najmniejszej możliwie średnicy, w której zawiera się ta figura). Mogą one być dla niektórych figur jedyne, jak w trójkącie, bądź nie, jak w prostokącie. Wykazać, że koło opisane jest jedyne.
Czy można nałożyć jakieś dodatkowe warunki na \(\displaystyle{ F}\) aby koło wpisane było jedyne ?
4. Gra na planszy
Na początku gry Gracz A ma zamalowane narożne lewe dolne pole , gracz B prawe górne . W każdym kolejnym ruchu zamalowują oni jedno pole, dowolne ale takie, które ma wspólny bok z innym polem już przez niego wcześniej zamalowanym. Wygrywa ten, który może zamalować pole zamalowane przez przeciwnika. Kto ma strategię wygrywającą (i jaką) ?
5. Mając dane
\(\displaystyle{ \begin{cases}30^{x} = 2 \\ 30^{y}= 3\end{cases}}\)
obliczyć \(\displaystyle{ 10^{\frac{2x+y}{1-y}}.}\)
6. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie liczbą cyfr w okresie rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(NWW(m, n) ) = NWW( f(m), f(n)),}\) gdy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są dowolnymi liczbami naturalnymi.
Uwagi: Jeśli rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) jest skończone to \(\displaystyle{ f(n)=1 }\).
7. Niech \(\displaystyle{ f(x) = 3x^2+1 }\). Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) iloczyn \(\displaystyle{ f(1) \cdot ... \cdot f(n)}\) ma co najwyżej \(\displaystyle{ n }\) różnych dzielników pierwszych.
APS
8. Zadanie H. Steinhausa
Podczas manewrów na oceanie okręty \(\displaystyle{ A, B, C}\) otrzymały od admirała lakoniczny rozkaz jak najszybszego skupienia się. Dzięki radiokomunikacji znane są trzem kapitanom pozycje statków - odległości są \(\displaystyle{ AB = 100 }\) mil, \(\displaystyle{ AC= 200 }\) mil, \(\displaystyle{ BC=220 }\) mil. Maksymalne prędkości są dla \(\displaystyle{ A }\) 15 węzłów, dla \(\displaystyle{ B }\) 20 węzłów, dla \(\displaystyle{ C }\) 12 węzłów.
Jak wykonać rozkaz ?
9. Prawie jak Fermat
Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieją liczby całkowite, które przybliżają równanie dowolnie dokładnie \(\displaystyle{ x^n + y^n =z^n}\) (tj. \(\displaystyle{ \frac{x^n+y^n}{z^n}) \approx 1}\) ?
10. Rozwiązać równanie (wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) ) \(\displaystyle{ 2f(x)–3f(\frac{1}{x}) = x^2.}\)
11. Wektor inwersyjny permutacji \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n) }\) to \(\displaystyle{ (b_1,...,b_n) }\), gdzie \(\displaystyle{ b_i = | \{ j< i : a_j > a_i \} | }\). Udowodnić, że taki wektor wyznacza permutację w sposób jednoznaczny.
12. Punkt \(\displaystyle{ M }\) jest na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC }\), który jest środkiem łuku \(\displaystyle{ ACB }\), a punkt \(\displaystyle{ D }\) jest rzutem \(\displaystyle{ M }\) na bok \(\displaystyle{ AC }\). (\(\displaystyle{ AC > BC }\)). Udowodnić, że \(\displaystyle{ D }\) połowi łamaną \(\displaystyle{ ACB. }\)
Mathematical delights
13. Zweryfikować czy Graf Grotzscha jest
a) planarny b) hamiltonowski c) bez trójkątów d) regularny e) \(\displaystyle{ k }\) dzielny.
16. Czy istnieje \(\displaystyle{ n}\) kąt, który ma dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\) osi symetrii ?

10

Gouranga pisze: ↑17 mar 2024, o 22:13 \(\displaystyle{ f(x) = -x^2 \vee f(x) = -\frac{1}{x^2}}\)

Bo?

Próbowałeś wstawić te "rozwiązania" do wyjściowego równania?

JK

10 cd

Dodano po 18 minutach 14 sekundach:

W zadaniu 4 brakuje ''opisu'' planszy.

Zadanie 7...

zauważmy kilka ciekawych rzeczy na początku...może wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:

\(\displaystyle{ f(1)=4=2^2}\)

\(\displaystyle{ f(2)=13}\)

\(\displaystyle{ f(3)= 28=2^2 \cdot 7}\)

\(\displaystyle{ f(4)=49=7^2}\)

\(\displaystyle{ f(5)=76=4 \cdot 19}\)

................................................

łatwo zauważyć, że za każdym razem przybywa co najwyżej jedna "nowa" liczba pierwsza, więc wystarczy dowieść, że nie może przybywać dwie "nowe" liczby pierwsze...

można wysnuć wniosek z obserwacji, że ta "nowa" liczba pierwsza:

niech:

\(\displaystyle{ f(n)=3n^2+1=pr}\)

\(\displaystyle{ p \ge 2n}\)

zauważmy też, że:

\(\displaystyle{ p|f(|n-p|)}\)

dw.:

\(\displaystyle{ f(|n-p|)=3n^2+1+3p^2-6pn}\)

Ale \(\displaystyle{ p}\) jet nowe i \(\displaystyle{ p|f(n)=3n^2+1 \Rightarrow p|f(|n-p|)}\)

jeżeli by teraz: \(\displaystyle{ p<2n}\) to musiałoby się pojawić w : \(\displaystyle{ |n-p|}\)

co daje nam sprzeczność bo: \(\displaystyle{ p|f(|p-n|)}\) i musiałoby się pojawić już wcześniej co daje nam sprzeczność...

W związku z tym powinno być, że:

\(\displaystyle{ p>2n}\)

Jeżeli by teraz istniały takie dwie "nowe" liczby pierwsze w jakimś kroku, np: \(\displaystyle{ p,q}\)

musiało by być:

\(\displaystyle{ p>2n, q>2n}\)

oraz:

\(\displaystyle{ f(n)=spq=3n^2+1}\)

co by dało, że:

\(\displaystyle{ s \cdot 4n^2=3n^2+1}\)

przyjmując nawet \(\displaystyle{ s=1}\)

zachodziłaby ta równość tylko dla \(\displaystyle{ n=1}\) , ale jak widać też nie zachodzi...

Czyli widać, że w każdym kroku ciąg generuje co najwyżej jedną "nową" liczbę pierwszą

cnd...

Dodano po 39 minutach 32 sekundach:
Zadanie 6:

Na początku zauważmy, że jeżeli: \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\) ma rozwinięcie skończone to powyższa równość zachodzi...

A teraz dwa słowa na temat rozwinięć dziesiętnych ... rozwinięcia dziesiętne liczby: \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\) dzielą się na:

- skończone jeżeli:\(\displaystyle{ n=2^s5^r}\)

- nieskończone jeżeli: \(\displaystyle{ p | n , p \neq 2, 5}\)

I sprawa jest natychmiastowa jeżeli zauważymy, że:

długość okresu ułamka (nieskończonego bo wystarczy skupić się na nieskończonych) wynosi: \(\displaystyle{ x}\) , gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszą taką liczbą gdzie:

\(\displaystyle{ 10^x=1 \mod n}\)

oczywiście to to samo co: \(\displaystyle{ f(n)=x}\)

niech teraz:

\(\displaystyle{ n=n_{1}d , m=m_{1}d , d=(m,n)}\)

\(\displaystyle{ 10^{x_{1}}=1 \mod m_{1}}\)

\(\displaystyle{ 10^{y_{1}}=1 \mod n_{1}}\)

\(\displaystyle{ 10^s=1 \mod d}\)

widać więc, że:

\(\displaystyle{ f\left[ NWW (m,n) \right] =f\left[ m_{1} \cdot n_{1} \cdot d \right] =x_{1} \cdot y_{1} \cdot s =NWW \left( f(m_{1}), f(n_{1}),f(d) \right) =NWW \left( f(m), f(n)\right) }\)

Dodano po 1 godzinie 3 minutach 9 sekundach:
Zadanie 11.

Łatwo zauważyć, że postać wektora \(\displaystyle{ B}\) dla permutacji n-elementowej wygląda następujaco:

\(\displaystyle{ B=\left( 0,x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} \right) }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ x_{i} \le i}\)

Można też te wektory dodawać po współrzędnych na zasadzie:

\(\displaystyle{ x_{i}+y_{i} \mod (i+1)}\)

Jak widać ilość tych wektorów to:

\(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n =n!}\)

A więc tyle co permutacji i się nie powtarzają...

Prawdopodobnie wektory te tworzą przestrzeń wektorową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) , gdzie:

\(\displaystyle{ K=\ZZ_{2}=\left( \left\{ 0, 1\right\} ,+, \cdot \right) }\)

cnd...

9 cd

A jakie jest rozwiązanie ósmego, gdy maksymalna prędkość \(B\) wynosi \(18\) węzłów?

12 Dodano po 16 minutach 17 sekundach:
7 cd 1 cd 4. Dodano po 3 minutach 17 sekundach:
9 cd