Matematyka.pl

1. Na tablicy jest liczba całkowita dodatnia. W każdym ruchu zmazuje się z tablicy liczbę \(\displaystyle{ n}\) zastępując ją inną liczbą. Jeśli \(\displaystyle{ n}\) była parzysta to zamieniana jest na \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ n}\) była nieparzysta, to na jedną z liczb \(\displaystyle{ 3n−1}\) lub \(\displaystyle{ 3n+1}\). Czy niezależnie od tego, jaka liczba była na początku: można, po skończonej ilości kroków, na tablicy mieć jedynkę ?
2. Wyznaczyć minimalną wartość \(\displaystyle{ f(n)}\) taką, że w dowolnym grafie 3-łączniku, o \(\displaystyle{ f(n)}\) wierzchołkach istnieje wiatraczek o \(\displaystyle{ n}\) ostrzach.
3-łącznik to graf, w którym dla dowolnych trzech wierzchołków, jakieś z nich łączy krawędź.
Wiatraczek to ciąg krawędzi \(\displaystyle{ (x_1,y_1),….(x_n,y_n)}\) ; wszystkie \(\displaystyle{ x_i}\) i \(\displaystyle{ y_i}\) są różne między sobą; i istniejący wierzchołek \(\displaystyle{ x}\) połączony krawędziami z każdym z tych \(\displaystyle{ 2n}\) wierzchołków.
3. Liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^5=b^4 \\ c^3=d^2 \\ c-a=19. \end{cases} }\)
Obliczyć \(\displaystyle{ d-b.}\)
4. Dla jakich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a \lfloor bn \rfloor = b \lfloor an \rfloor }\) gdy \(\displaystyle{ n = 1, 2, 3,…}\) ?
5. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą; udowodnić, że istnieje rosnący ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3,…}\) gdzie \(\displaystyle{ x_1…x_p}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
6. Rozwiąż na trzy różne sposoby rekurencję
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}=2a_n+n \\ a_0=1. \end{cases} }\)
7. Własność grafu; Wykaż lub obal: dla dowolnego \(\displaystyle{ n=1,2,3,…}\) istnieje graf o liczbie chromatycznej równej \(\displaystyle{ n}\), w którym nie ma trójkątów.
8. Jakie funkcje \(\displaystyle{ f}\) o wartościach dodatnich są takie, że:
i) \(\displaystyle{ f(x^2) = f(x)^2 - 2xf(x)}\)
ii) \(\displaystyle{ f(-x)=f(x-1)}\)
iii) jeśli \(\displaystyle{ 1<x<y}\) to \(\displaystyle{ f(x)< f(y)}\)
?
Uwagi: w (i) i (ii) \(\displaystyle{ x}\) jest dowolne.
9. Obliczyć \(\displaystyle{ x - \frac{1}{x}}\) jeśli \(\displaystyle{ x^{(x-1)^2}=2x+1.}\)
10. Czy istnieje trójkąt o całkowitych bokach, o jakiejś wysokości równej bokowi, na który jest opuszczona ?

Dodano po 43 minutach 20 sekundach:

Dodano po 8 minutach 50 sekundach:
Zażartuję sobie

5 cd

Dodano po 1 godzinie 32 minutach 48 sekundach:

kerajs pisze: ↑29 kwie 2022, o 22:35

3:    

\(\displaystyle{ p^2-q^2=19 \ \ \Rightarrow \ \ p=10 \wedge q=9
\\
d-b= \sqrt{100^3}- \sqrt[4]{81^5}=1000-243 }\)

O ile dobrze rozumiem to rozumowanie, to \(\displaystyle{ a=\frac{b^4}{a^4}=p^2}\), skąd \(\displaystyle{ p=\frac{b^2}{a^2}}\). Ale równanie \(\displaystyle{ 10=\left(\frac{a}{b}\right)^2}\) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych

a4karo pisze: ↑1 maja 2022, o 15:27O ile dobrze rozumiem to rozumowanie, to \(\displaystyle{ a=\frac{b^4}{a^4}=p^2}\)

Pomijając fakt, że to nie żadne rozumowanie tylko dwie linijki symboli, \(\displaystyle{ p^2}\) ma się równać \(\displaystyle{ c}\), nie \(\displaystyle{ a}\).

Dasio11 pisze: ↑1 maja 2022, o 16:10

a4karo pisze: ↑1 maja 2022, o 15:27O ile dobrze rozumiem to rozumowanie, to \(\displaystyle{ a=\frac{b^4}{a^4}=p^2}\)

Pomijając fakt, że to nie żadne rozumowanie tylko dwie linijki symboli, \(\displaystyle{ p^2}\) ma się równać \(\displaystyle{ c}\), nie \(\displaystyle{ a}\).

Sorry

Przepraszam. Sądziłem że to co napisałem jest oczywiste. Jak widać, myliłem się. Na swoje usprawiedliwienie podam, iż sądziłem, że niepisaną tradycją jest podawanie niepełnych rozwiązań, pomijających rachunki oraz trywialne lub oczywiste rozumowania i wnioski. Przykładem może być:

Dasio11 pisze: ↑29 kwie 2022, o 15:51

1.:    

Można - wystarczy zawsze liczbę nieparzystą zastępować liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 4}\).

gdzie nie ma żadnego rozumowania.
Bo i po co skoro:

kerajs pisze: ↑3 maja 2022, o 11:13Na swoje usprawiedliwienie podam, iż sądziłem, że niepisaną tradycją jest podawanie niepełnych rozwiązań, pomijających rachunki oraz trywialne lub oczywiste rozumowania i wnioski. Przykładem może być:

Dasio11 pisze: ↑29 kwie 2022, o 15:51

1.:    

Można - wystarczy zawsze liczbę nieparzystą zastępować liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 4}\).

gdzie nie ma żadnego rozumowania.

Nie wiem przed kim i po co się usprawiedliwiasz, ale wyklaruję swoje stanowisko. Na ogół nie mam nic przeciwko podawaniu wskazówek, szkiców i innych niepełnych rozwiązań, szczególnie w dziale Kółko Matematyczne, które z założenia jest dla osób zdolniejszych i potrafiących czytać między wierszami. Sugeruję tylko by nie nazywać dwóch linijek symboli rozumowaniem, podobnie jak sprzeciwiałbym się, gdyby nazwano nożyczki do włosów golarką. Dla matematyka rozumowanie oznacza zapisany pełnymi zdaniami tekst, który wyjaśnia dlaczego teza musi być prawdziwa, a rachunki i implikacje to tylko symbole, które same w sobie nic nie znaczą, choć zdarza im się pełnić rolę nieco enigmatycznej wskazówki (tak jak w tym przypadku).

I też kerajs nie nazwał tego rozumowaniem. Bezsprzeczne jest to, że za tymi linijkami rozumowania sie kryło, w wlasnie chciałem się upewnić, czy autorowi o to chodziło. A że popełniłem pomyłkę, to zupełnie inna sprawa.

Z drugiej strony, wolę trzy linijki, z których da się odtworzyć dowód niż strony bełkotu, którymi karmią nas niektórzy użytkownicy. I jakoś tam moderatorzy nie są skłonni do komentowania.

a4karo pisze: ↑3 maja 2022, o 12:18strony bełkotu, którymi karmią nas niektórzy użytkownicy. I jakoś tam moderatorzy nie są skłonni do komentowania.

Jeśli widzisz w tym coś dziwnego (a takie odnoszę wrażenie), to przypomnę, że wszystkim - nawet moderatorom - przysługuje niezbywalne prawo do wyboru wedle własnego uznania, co akurat mają ochotę skomentować. ;>

W zadaniu 7 konstrukcja Mycielskiego zwiększa o jeden liczbę chromatyczną w grafie beztrójkątnym np....