Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Kładziemy \(\displaystyle{ g\left(x\right)=f\left(x\right)-x}\) i nasze równanie sprowadza się do: \(\displaystyle{ 2000g\left( g\left(x \right) \right)=-g\left(x\right)}\)
Teraz skoro \(\displaystyle{ f: \ZZ \rightarrow \ZZ}\) to \(\displaystyle{ g: \ZZ \rightarrow \ZZ}\) i mamy w szczególności \(\displaystyle{ 2000|g\left(x\right)}\). Pokazujemy indukcyjnie że \(\displaystyle{ 2000^{n}|g\left(x\right)}\) co oznacza, że musi być \(\displaystyle{ g \equiv 0}\) a więc \(\displaystyle{ f\left(x\right)=x}\).
Uwaga, zakładając już że \(\displaystyle{ f: \ZZ \rightarrow \QQ}\) równanie ma jeszcze jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ f\left(x\right)=-\frac{2001x}{2000}}\). Pytanie czy zmieniając treść i żądając np funkcji \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) są jeszcze inne oprócz tych dwóch spełniające to równanie. Póki co nie potrafię odpowiedzieć na to pytanie.
Kładziemy \(\displaystyle{ g\left(x\right)=f\left(x\right)-x}\) i nasze równanie sprowadza się do: \(\displaystyle{ 2000g\left( g\left(x \right) \right)=-g\left(x\right)}\)
Teraz skoro \(\displaystyle{ f: \ZZ \rightarrow \ZZ}\) to \(\displaystyle{ g: \ZZ \rightarrow \ZZ}\) i mamy w szczególności \(\displaystyle{ 2000|g\left(x\right)}\). Pokazujemy indukcyjnie że \(\displaystyle{ 2000^{n}|g\left(x\right)}\) co oznacza, że musi być \(\displaystyle{ g \equiv 0}\) a więc \(\displaystyle{ f\left(x\right)=x}\).
Uwaga, zakładając już że \(\displaystyle{ f: \ZZ \rightarrow \QQ}\) równanie ma jeszcze jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ f\left(x\right)=-\frac{2001x}{2000}}\). Pytanie czy zmieniając treść i żądając np funkcji \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) są jeszcze inne oprócz tych dwóch spełniające to równanie. Póki co nie potrafię odpowiedzieć na to pytanie.
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ a_0 = x}\), \(\displaystyle{ a_1 = f(x)}\), \(\displaystyle{ a_2 = f(f(x))}\), ..., podstawiając otrzymamy jakiś ciąg rekurencyjny, którego wzór jawny da się wyliczyć.
Odręczny szkic krzywej wykładniczej i krzywej logarytmicznej o tej samej podstwie mniejszej od jeden, pokazuje że istnieje tylko jedno rozwiązanie (leżące także na \(\displaystyle{ y=x}\) gdyż krzywe są symetryczne względej niej)
Dokładne rozwiązanie równania \(\displaystyle{ (\ln 2) ^{x}=x}\) leżące w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0,7 \ ; \ 0,8\right)}\) jest tylko numeryczne.
Odręczny szkic krzywej wykładniczej i krzywej logarytmicznej
może jakiś szkic ? (rysunek)
Jak udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ 1<a<e ^{\frac{1}{e}}}\) to wykresy funkcji \(\displaystyle{ y=a^x}\) i \(\displaystyle{ y=log_a x}\) mają dwa punkty wspólne..?
co gdy \(\displaystyle{ a<1}\) ?
Odręczny szkic krzywej wykładniczej i krzywej logarytmicznej
może jakiś szkic ? (rysunek)
Przepraszam, że wtedy nie odpowiedziałem. Wyjechałem, a na Forum pojawiłem się pod koniec września i musiałem przegapić ten post.
Rysunek po lewej (szkoda że nie działa TikZ) przedstawia przecięcie dwóch malejących (gdyż \(\displaystyle{ \ln 2<1}\)) krzywych. Istnieje dokładnie jedno rozwiązanie leżące na prostej \(\displaystyle{ y=x}\)
krz764.png (10.13 KiB) Przejrzano 750 razy
mol_ksiazkowy pisze: ↑27 sie 2015, o 11:48
co gdy \(\displaystyle{ a<1}\) ?
Jedno rozwiązanie, jak na lewej grafice.
mol_ksiazkowy pisze: ↑27 sie 2015, o 11:48
Jak udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ 1<a<e ^{\frac{1}{e}}}\) to wykresy funkcji \(\displaystyle{ y=a^x}\) i \(\displaystyle{ y=log_a x}\) mają dwa punkty wspólne..?
Wystarczy sprawdzić czy styczna do krzywej wykładniczej (logarytmicznej) równoległa do \(\displaystyle{ y=x}\) przecina oś OY poniżej (powyżej) zera. Pokazuje to prawa grafika. \(\displaystyle{ y=a^x\\
y'=a^x\ln a\\
y'(x_0)=1\ \ \Rightarrow \ \ x_0=\log_a(\log_a e) }\)
Równanie stycznej: \(\displaystyle{ y-a^{\log_a(\log_a e) }=1(x-\log_a(\log_a e) )\\
y=x-\log_a(\log_a e) +a^{\log_a(\log_a e) }}\)
Wykresy funkcji \(\displaystyle{ y=a^x}\) i \(\displaystyle{ y=log_a x}\) (albo równoważnie wykresy \(\displaystyle{ y=a^x}\) i \(\displaystyle{ y= x}\)) mają dwa punkty wspólne gdy: \(\displaystyle{ -\log_a(\log_a e) +a^{\log_a(\log_a e) }<0\\
\log_a e<\log_a(\log_a e) \ \ \ \wedge \ \ \ a>1\\
e<\log_a e\\
e< \frac{1}{\ln a}\\
\ln a < \frac{1}{e}\\
e^{\ln a}< e^{ \frac{1}{e} } \\
a< e^{ \frac{1}{e} }}\)
10:
Skoro zamknięty ciąg ruchów po całej szachownicy jest takim, który zaczyna się i kończy na tym samym polu, to odpowiedź jest negatywna. Od pola J1 do pola A10 można prowadzi tylko droga po diagonali J1-I2-H3-...-B9-A10. Dzieli ona szachownicę na dwie części, a figura znajduje się w górnoprawej (bo jedyny możliwy kolejny ruch to B10) połowie. Jej przejście (teraz lub w kolejnych ruchach) na część dolnolewą nie jest możliwe, gdyż nie może ona wykonywać ruchu skośnie w lewo i w dół (a tylko taki ruch o jedno pole pozwoliłby przejść przez nad przekątną J1- A10 ).
Figura może przejść po wszystkich polach szachownicy, lecz pole startu nie będzie polem mety. Przykład przejścia od A10 do J1.
Jest jeszcze chyba nowe trzynaste, ale nie wygląda zbyt ambitnie.
nowe 13.:
Oczywiście nie wszystkie wyrazy są zerowe, precyzyjniej mamy co najmniej dwa niezerowe. Skoro \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0}\), to \(\displaystyle{ \sum_{x_{i}\ge 0}x_{i}=-\sum_{x_{j}<0}x_{j}}\)
Niech \(\displaystyle{ S=\left\{i\in\left\{1,2,\ldots n\right\}: x_{i}\ge 0\right\}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \left|\frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{2}+\ldots+\frac{x_{n}}{n}\right|=\max \left\{ \left| \sum_{i\in S}\frac{x_{i}}{i}\right|-\left| \sum_{i\notin S}\frac{x_{i}}{i}\right|, \left| \sum_{i\notin S}\frac{x_{i}}{i}\right|-\left|\sum_{i\in S}\frac{x_{i}}{i}\right|\right\}}\)
Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ \max \left\{ \left| \sum_{i\in S}\frac{x_{i}}{i}\right|-\left| \sum_{i\notin S}\frac{x_{i}}{i}\right|, \left| \sum_{i\notin S}\frac{x_{i}}{i}\right|-\left|\sum_{i\in S}\frac{x_{i}}{i}\right|\right\}=\left| \sum_{i\in S}\frac{x_{i}}{i}\right|-\left| \sum_{i\notin S}\frac{x_{i}}{i}\right|}\)
(gdyby tak nie było, to zastępujemy wszystkie liczby \(\displaystyle{ x_{i}}\) liczbami \(\displaystyle{ -x_{i}}\) i założenia, jak i teza de facto nie ulegają zmianie dzięki tym modułom).
Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \left| \sum_{i\in S}\frac{x_{i}}{i}\right|=\sum_{i\in S}\frac{x_{i}}{i}\le \sum_{i\in S}x_{i}}\) z równością gdy \(\displaystyle{ 1\in S}\) i dla \(\displaystyle{ i\in S\setminus \left\{1\right\}}\) mamy \(\displaystyle{ x_{i}=0}\).
Równie łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \left| \sum_{i\notin S}\frac{x_{i}}{i}\right|=\sum_{i\notin S}-\frac{x_{i}}{i}\ge \frac{1}{n} \sum_{i\notin S}-x_{i}=\left|\frac{1}{n}\sum_{i\notin S}x_{i}\right|}\) i równość zachodzi dokładnie gdy \(\displaystyle{ \left\{1,2\ldots n\right\}\setminus S=\left\{n\right\}}\)
Pozostaje zmaksymalizować \(\displaystyle{ x+\frac{y}{n}}\) gdy \(\displaystyle{ x+y=0, \ |x|+|y|=1, \ x>0}\) (pozostałe wyrazy można pominąć, gdyż są zerami), ale tu nawet nie ma czego maksymalizować, ponieważ wstawiając \(\displaystyle{ y=-x}\), mamy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) i jedyna wartość tego wyrażenia \(\displaystyle{ x+\frac{y}{n}}\) w rozważanym przypadku to właśnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)}\).
Trochę to jest przegadane, bo idea trywialna.
Dodano po 6 minutach 32 sekundach:
Jedenaste to hard troll Hallelujah, change my mind.
O ile istnienie \(\displaystyle{ 2k }\)rozłącznych cięciw trywialne (np: indeksujemy punkty od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 4n }\)zgodnie z ruchem wskazówek zegara i łączymy w pary te dwa, których suma indeksów wynosi \(\displaystyle{ 4n+1}\)) , to moim zdaniem druga część tezy jest nieprawdziwa. Kontrprzykład dla \(\displaystyle{ k=4 }\):
16 różnym punktom okręgu przypisuję (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) wartości \(\displaystyle{ 1 \ x \ 2 \ x \ 3 \ 14 \ 4 \ x \ x \ 15 \ x \ x \ x \ x \ x \ 16}\) gdzie x to dowolna z niewybranych wcześniej wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 5,6,7,..., 12,13\right\} }\) Jest tu możliwych tylko osiem układów, a w każdym z nich jest cięciwa w której wartość bezwzględna różnicy numerów jest większa od 11.
A może gdzieś błądzę i we wskazanej powyżej numeracji punktów jest odpowiedni układ?
Dodano po 1 dniu 19 godzinach 8 minutach 31 sekundach:
3 cd:
Ilość układów \(\displaystyle{ 2n}\) rozłącznych cięciw jest taka sama jak ilość układów \(\displaystyle{ 2n}\) równoległych cięciw łączących wierzchołki 4n-kąta foremnego wpisanego w okrąg i wynosi \(\displaystyle{ 2n}\).
Jeśli \(\displaystyle{ 4n}\) różnym punktom okręgu przypiszę (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) wartości: \(\displaystyle{ (4n-2) \ x\ (4n) \ 1 \ x \ 2 \ x \ 3 \ \ x ... \ x \ (n-1) \ x \ (n) \ (4n-1) \ \underbrace{ x \ x \ ... \ x }_{2n-3 \ liczb }}\) ; gdzie x to dowolna z niewybranych wcześniej wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ n+1,n+2,n+3,...,4n-3\right\} \wedge n \in \NN \setminus \left\{ 0,1,2\right\} }\) ; to w każdym z \(\displaystyle{ 2n}\) możliwych układów dostanę dodatnią różnicę większą od \(\displaystyle{ 3n-1}\) Są to (wskazuję tylko największą w każdym z \(\displaystyle{ 2n}\) układów) : \(\displaystyle{ (4n)-1,(4n)-2, ..., (4n)-(n),(4n-1)-1,(4n-1)-2, ..., (4n-1)-(n-1), (4n-2)-1}\)
Konkluzja: teza dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) jest nieprawdziwa
