[MIX] Mix matematyczny (30)

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9188
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2811 razy
Pomógł: 706 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Żabie skoki; ścieżki w 8 kącie. Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ E}\) będą
przeciwległymi wierzchołkami 8 kąta. Żaba skacze aby być w \(\displaystyle{ E}\). Z każdego wierzchołka może ona
zrobić dwa skoki. Gdy żaba jest w \(\displaystyle{ E}\) to już wtedy nie skacze. Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie ilością różnych ścieżek z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ E}\) , które mają \(\displaystyle{ n}\) skoków. Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n-1} = 0 \\a_{2n} = \frac{2}{x-y} (x^{n-1}- y^{n-1}) \end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ n= 1, 2, ….}\), gdzie \(\displaystyle{ x= 2+ \sqrt{2} \ \ y=2 - \sqrt{2}}\)

Uwaga:
Ścieżka \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ E}\) złożona z \(\displaystyle{ n}\) skoków to każdy ciąg wierzchołków ośmiokąta \(\displaystyle{ (P_0, …., P_n)}\) taki, że:
ad a \(\displaystyle{ P_0 = A}\), \(\displaystyle{ P_n = E}\)
ad b dla dowolnego \(\displaystyle{ 0 \leq i \leq n-1}\) \(\displaystyle{ P_i \neq E}\)
ad c gdy \(\displaystyle{ 0 \leq i \leq n-1}\), to punkty \(\displaystyle{ P_i}\) oraz \(\displaystyle{ P_{i+1}}\) są to sąsiednie wierzchołki

2. Kwadrat podzielono prostymi równoległymi do jego boków na przystające komórki kwadratowe (komórek tych jest nieparzysta ilość). Można przemieszczać się z jednej do drugiej, jeśli mają one wspólny bok. Czy można tak to zrobić aby być na wszystkich komórkach, od komórki przyległej do tej narożnej ?
(równoważnie: czy król może pokonać wszystkie pola szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) zaczynając z pola b1, jeśli wolno mu przemieszczać się tylko „rzędami i kolumnami” ?)

3*. W krainie Id są ścieżki , które łączą ze sobą i z zamkiem króla 60 zamków rycerskich, przy czym z każdego zamku są 3 ścieżki. Król zaczął wędrować po swym królestwie spędzając w każdym napotkanym zamku noc i opuszczając zamek co drugi dzień ścieżką wiodącą w prawo, a co drugi dzień - ścieżką w lewo od tej, którą przybył. Ile maksymalnie może trwać ta jego wędrówka zanim wróci do swego zamku ?

4. Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie trójkątem w którym \(\displaystyle{ AB =AC}\) oraz kąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równy \(\displaystyle{ 20^{o}}\). Punkt \(\displaystyle{ X}\) leży na \(\displaystyle{ AB}\) tak, że kąt \(\displaystyle{ XCB}\) jest równy \(\displaystyle{ 50^{o}}\), zaś punkt \(\displaystyle{ Y}\) leży na \(\displaystyle{ AC}\) tak, że kąt \(\displaystyle{ YBC}\) jest równy \(\displaystyle{ 60^{o}}\). Wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ AXY}\).

5*. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją \(\displaystyle{ f: [0,1] \mapsto [0,1]}\) ciągła i taką, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\) w ciągu iteracji \(\displaystyle{ x, f(x), f( f(x) ), …}\) występuje element \(\displaystyle{ 0}\). Czy z tego wynika, iż \(\displaystyle{ \underbrace{f (f (f( \ldots )))}_{n} \equiv 0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) ?

6. Czy jeśli \(\displaystyle{ x, y, z}\) są takie, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z = 3\\ x^2+ y^2 +z^2=3 \\x^3 +y^3+ z^3 = 3 \end{cases}}\)
to z tego wynika, że \(\displaystyle{ x= y= z= 1}\) ?

7. Ciąg \(\displaystyle{ 3, 5, 11, 23, 47}\) jest przykładem ciągu liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_j}\) takiego, iż \(\displaystyle{ p_ j - 2p_{j-1} = \pm 1}\) dla \(\displaystyle{ j>1}\). Wykazać, iż nie istnieje nieskończony ciąg o takiej własności.

8. Wyznaczyć \(\displaystyle{ x, y, z}\) gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} yz = a(y+z) + r\\ zx=a(z+x)+ s \\ xy=a(x+y)+t \end{cases}}\)
tj. \(\displaystyle{ a, r, s, t}\) są dane

9. Podać przykład takiego podzbioru \(\displaystyle{ Z \neq \emptyset}\) płaszczyzny: o ile to możliwe, że część wspólna \(\displaystyle{ Z}\) i dowolnej prostej tej płaszczyzny jest zbiorem niepustym i
a) skończonym
b) ograniczonym
c) wypukłym
Uwaga: każdy z przypadków a - c należy rozwiązać z osobna (są to trzy zadania)

10*. Mumbo-Yumbo. Język szczepu Mumbo-Yumbo ma tylko dźwięki: A, E, U, Y. Dźwięk E ma szczególne własności: samo E jest słowem, ale dopisane na początku, w środku lub na końcu innego słowa nie zmienia jego sensu. Siedem dźwięków A następujących po sobie mają ten sam sens co jeden dźwięk E. To samo dotyczy siedmiu U i siedmiu Y. Zamiast UUUY mówi się YU, zamiast AAY - YA, zamiast UUUUA - AU.
Szczep składa się 400 osób. Czy znajdą się dwaj Mumbo-Yumbijczyczycy mający to samo imię ?

11. Trzy okręgi o promieniach \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\) są parami styczne zewnętrznie. Oblicz długość promienia okręgu przechodzącego przez punkty styczności tych okręgów.

12. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a, b > 0}\) to:
a) \(\displaystyle{ 2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{b} \geq 5\sqrt[5]{ab}}\)
b) \(\displaystyle{ 2a+ 3\sqrt[6]{b^5} \geq 5 \sqrt[5]{a^2} \sqrt{b}}\)

13. Niech \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\), tj. funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej \(\displaystyle{ n}\) sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ n^2}\) np. \(\displaystyle{ f(34)=13}\) jako że \(\displaystyle{ 34*34= 1156}\)
a) wskazać przykład \(\displaystyle{ m \in N \backslash f(N)}\) i \(\displaystyle{ m > 4}\)
b) dowieść, że \(\displaystyle{ f(n)=4}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\)
Uwaga: \(\displaystyle{ N = \{ 1, 2, ….., \}}\)

14. Niech \(\displaystyle{ a, b}\) będą liczbami wymiernymi takimi, że \(\displaystyle{ a^5 + b^5 = 2a^2b^2}\). Wykazać, iż \(\displaystyle{ 1- ab}\) jest kwadratem liczby wymiernej.

15. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia uzyskania przy \(\displaystyle{ 6n}\) rzutach kostką do gry każdej liczby oczek \(\displaystyle{ n}\) razy

16. Wyliczyć \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt[3]{x}\sqrt{y}+\sqrt[3]{y}\sqrt{x} = 12\\ xy = 64 \end{cases}}\)

17. Niech \(\displaystyle{ X = \{1, ... , n \}}\). Podzbiór \(\displaystyle{ R \subset X}\) nazywa się wolny, jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\) jest \(\displaystyle{ x + y \neq z}\). Ile najwięcej elementów może mieć podzbiór wolny zbioru \(\displaystyle{ X_{2013}}\) ?

18. a) Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele par \(\displaystyle{ (t, v)}\) liczb naturalnych o tej własności, iż \(\displaystyle{ tv - 2\sqrt{v^2 + t^2} + 2}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
b) to samo: dla par \(\displaystyle{ (u, z)}\) i wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{21u +6z – 20z}{7}}\)

19. Na tablicy napisano dwie liczby: \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\). I można tworzyć kolejne: jeśli są już na tablicy \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ n}\), to można dopisać \(\displaystyle{ m+ n+ mn}\). Czy na tablicy może pojawić się liczba \(\displaystyle{ 2013}\) ?

20*. Samoopisujący się ciąg \(\displaystyle{ f(1), f(2), f(3) ,….}\), to taki ciąg niemalejący, który zawiera \(\displaystyle{ f(k)}\) wystąpień liczby \(\displaystyle{ k}\) dla \(\displaystyle{ k=1, 2, 3, ….}\), tj. :
\(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 2, \ 3, \ 3, \ 4, \ 4, \ 4, \ 5, \ 5, \ 5, \ 6, \ 6, \ 6, \ 6, \ 7, …}\)
i niech \(\displaystyle{ g(n)}\) będzie największą liczbą \(\displaystyle{ m}\) taką, że \(\displaystyle{ f(m) = n}\)
a) wykazać, że \(\displaystyle{ g(n)= \sum\limits_{k=1}^{n} f(k)}\)
b) wyznaczyć \(\displaystyle{ f(2013)}\) i \(\displaystyle{ g(2013)}\)

21. Znaleźć wszystkie wartości \(\displaystyle{ a_0}\), dla których ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) określony rekurencją \(\displaystyle{ a_n = 2^{n-1} - 3a_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) jest silnie rosnący. ;tj. taki iż \(\displaystyle{ a_{n+1} > a_n}\) dla \(\displaystyle{ n=0, 1, 2, ….}\)

22. a) Niech dane będą liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, b, c}\). Udowodnić, źe: \(\displaystyle{ \frac{1}{a^3 + b^3 + abc} +\frac{1}{a^3 + c^3 + abc}+ \frac{1}{c^3 + b^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}}\)
Czy może zachodzić równość ?
b) Niech dane będą liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, b}\). Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ 3a^4 - 4a^3 b + b^4 \geq 0}\).

23. W dowolnym trójkącie wysokość opuszczona na krótszy bok jest dłuższa od wysokości opuszczonej na bok dłuższy. Czy taka własność dotyczy też dwusiecznych ?

24. Pokazać przykład funkcji \(\displaystyle{ f}\) takiej, że jej wykres ma:
a) nieskończenie wiele osi symetrii, ale nie ma środka symetrii
b) nieskończenie wiele środków symetrii, ale nie ma osi symetrii

25. Na płaszczyźnie dane jest \(\displaystyle{ 2013}\) punktów: \(\displaystyle{ A_1, ..., A_{2013}}\). Środek każdego odcinka \(\displaystyle{ A_iA_j}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\) pomalowano na zielono. Ile maksymalnie, a ile minimalnie można wtedy mieć zielonych punktów?

26. Rozstrzygnąć, czy kwadrat \(\displaystyle{ K}\) o boku \(\displaystyle{ 7}\) można pokryć ośmioma kwadratami o bokach równych \(\displaystyle{ 3}\)
a) przy założeniu, że boki tych ośmiu kwadratów są równoległe do boków kwadratu \(\displaystyle{ K}\)
b) bez tego założenia

27. Danych jest \(\displaystyle{ 2n+1}\) różnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_j}\) takich , że \(\displaystyle{ |a_j| \leq 2n-1}\) dla \(\displaystyle{ j =1, …, 2n+1}\). Udowodnić, iż istnieją wśród nich trzy takie, których suma jest równa zero. (tj. dla pewnych wskaźników \(\displaystyle{ i, j, k}\) parami różnych: \(\displaystyle{ a_i +a_j + a_k =0}\))

28. Na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) ustawiono (po jednej na każdym polu) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n^2}\). Wykazać, iż istnieją dwa pola: mające wspólny róg lub krawędź i takie, że różnica liczb na nich umieszczona jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ n + 1}\).

29. We wnętrzu trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ 12}\) wybrano \(\displaystyle{ 300}\) punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Udowodnić, iż pewne trzy z nich utworzą trójkąt o obwodzie nie większym niż \(\displaystyle{ 3}\)

30. Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży w danym pięciokącie foremnym (wewnatrz lub na obwodzie) i jest odległy o \(\displaystyle{ x_j}\) od prostych zawierających boki tego pięciokąta (dla \(\displaystyle{ j = 1, 2, 3, 4, 5}\)). Niech \(\displaystyle{ x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5}\). Znaleźć największą i najmniejszą wartość, jaką może przyjąć \(\displaystyle{ x_3}\).

31*. Siatka. Na płaszczyźnie dana jest siatka kwadratowa, tzn. siatka utworzona przez dwie rodziny prostych równo odległych, nawzajem prostopadłych. Pewne pola siatki, poczynając od dowolnie wybranego pola, numeruje się kolejnymi liczbami naturalnymi w ten sposób, że dwie kolejne liczby naturalne przypisuje jako numery polom siatki o wspólnym boku.
Ponumerowane pola siatki dzieli się na dwie klasy: klasę pól oznaczonych liczbami parzystymi i klasę pól oznaczonych liczbami nieparzystymi. Dowieść, że jeżeli dwa ponumerowane pola mają wspólny bok, to należą do różnych klas.
Uogólnić wynik na przypadek siatki płaskiej złożonej z trójkątów równobocznych, a także na przypadek siatki przestrzennej złożonej z sześcianów. W ostatnim przypadku należy dowieść, że dwa sześciany należą do różnych klas, jeżeli mają wspólną ścianę.
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2014, o 19:09 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1619
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 457 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: timon92 »

zad 4 jest skopane, pewnie miało być \(\displaystyle{ \angle BAC = 20^\circ}\)
4:    
11:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2631 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: »

Zadanie 29:    
Q.
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: tometomek91 »

19.
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2631 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: »

Zadanie 12a:    
Zadanie 12b:    
Q.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: Rogal »

Zadanie 6.
Ukryta treść:    
KameleonFCB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 2 kwie 2011, o 08:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 5 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: KameleonFCB »

zad. 6:    
Ostatnio zmieniony 17 lis 2012, o 17:50 przez KameleonFCB, łącznie zmieniany 1 raz.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2631 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: »

Zadanie 14:    
Q.
HuBson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 166
Rejestracja: 13 kwie 2012, o 00:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 14 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: HuBson »

Zad 2.:    
Ostatnio zmieniony 17 lis 2012, o 18:21 przez HuBson, łącznie zmieniany 2 razy.
KameleonFCB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 2 kwie 2011, o 08:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 5 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: KameleonFCB »

zad. 22 b):    
-- 17 lis 2012, o 17:43 --
zad. 16:    
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: tometomek91 »

22 a) jeśli ta suma z lewej strony ma być cykliczna, to tutaj jest rozwiązanie:
Ukryta treść:    
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: KPR »

7:    
9:    
13a:    
13b:    
-- 17 lis 2012, o 18:45 --
15:    
-- 17 lis 2012, o 18:53 --
tometomek91 pisze:19.
Ukryta treść:    
Nie jest napisane, że \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) muszą być różne.
Tu jest dobre rozwiązanie:
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2631 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: »

21:    
Q.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9188
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2811 razy
Pomógł: 706 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: mol_ksiazkowy »

ad 18 b Zadanie ze 101 Niezrozwiazalnych...
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2631 razy

[MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: »

26:    
Q.
ODPOWIEDZ