Matematyka.pl

1. Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,100 \}}\) wybrano \(\displaystyle{ 51}\) elementów. Wykazać, że istnieją wśród nich takie \(\displaystyle{ a, b}\)
a) które są ze sobą względnie pierwsze
b) że jeden jest dzielnikiem drugiego.
2. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi \(\displaystyle{ 2310}\). Wykazać, że ich iloczyn nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ 2310}\)
3. Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych nieujemnych \(\displaystyle{ (m, n)}\), takie iż ułamek \(\displaystyle{ \frac{n^3+1}{mn-1}}\) jest także liczbą całkowitą.
4. Znależć możliwie najmniejsze \(\displaystyle{ n>0}\) o tej własności, że liczby \(\displaystyle{ 19n+1}\) oraz \(\displaystyle{ 95n+1}\) są kwadratami (pewnych liczb całkowitych).
5. Wyznaczyć wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) liczb całkowitych, takie że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a+b)(b+c)(c+a)+ (a+b+c)^3 +abc = 1}\)
6. a) Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ x^2 -y^3 =7}\) nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych
b) uogólnić ten sam wynik dla \(\displaystyle{ x^2 -y^3 =8c^3-1}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest nieparzyste
7. Rozstrzygnąć czy istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) , że \(\displaystyle{ (a+36b)(b+36a)}\) jest potęgą dwójki ?
8. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą naturalną ,tj. \(\displaystyle{ a \in \{ 1,2,3,... \}}\) i taką że \(\displaystyle{ 4(a^n+1)}\) jest sześcianem (pewnej liczby całkowitej) dla \(\displaystyle{ n =1, 2, 3, ....}\)
Wykazać, ze wtedy \(\displaystyle{ a=1}\)
9. Niech \(\displaystyle{ x, y}\) to będą liczby całkowite, oraz \(\displaystyle{ y^2+3x^2y^2 =30x^2+ 517}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ 3x^2y^2}\)
10. Znależć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) iż:
a) \(\displaystyle{ 2^p + p^2}\) też jest pierwsza
b) \(\displaystyle{ 2^p + p}\) też jest pierwsza
11. Rozwiazać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (4x)_{5} +7y=14\\(2y)_{5}- (3x)_{7}=74\end{cases}}\)
gdzie zapis \(\displaystyle{ (n)_{k}}\) oznacza wielokrotność liczby \(\displaystyle{ k}\) leżącą najbliżej liczby \(\displaystyle{ n}\)
12. Wykazać, iż ułamek \(\displaystyle{ \frac{m(n+1)+1}{m(n+1)-n}}\) jest nieskracalny dla dowolnych \(\displaystyle{ m, n \in \{ 1,2,3,... \}}\)
13. Udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+2xyz=1}\) posiada nieskończenie wiele rozwiązań całkowitoliczbowych i o ile to możliwe podać je wszystkie (lub choć częściowo sklasyfikować je podając wzory na \(\displaystyle{ x, y, z}\));
14. Wskazać wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) takie, że \(\displaystyle{ a+b+c= NWW(a,b,c)}\)
Uwaga: Jedna z nich jest np. \(\displaystyle{ a=1 \ b=2 \ c=3}\)
\(\displaystyle{ NWW(a,b,c)}\) oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\)
15. Wskazać (wraz z dowodem ) najmniejszy możliwie \(\displaystyle{ n}\) takie, że przy dowolnym podziale zbioru \(\displaystyle{ S= \{ 1,2,3,...,n \}}\) na dwa podzbiory, jeden z nich (lub byc może oba) będzie zawierał elementy \(\displaystyle{ a, b \ a \neq b}\) takie że \(\displaystyle{ ab}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a+b}\)
16. a) Czy zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,2,3,...,96 \}}\) może być podzielony na 32 podzbiory równej mocy i o równej sumie trójki w każdym z nich ?
Uwaga: np. jest możliwe dla zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,2,3,...,9 \} = \{ 1, 5, 9 \} \cup \{ 3, 4, 8 \} \cup \{ 2, 6, 7\}}\) itp.
b) Czy zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,2,3,...,99 \}}\) może być w ten sam sposob podzielony na 33 podzbiory ?
17. Niech \(\displaystyle{ \begin{cases} xy+x+y=71 \\xy(x+y)=880\end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ x^2+y^2}\), o ile \(\displaystyle{ x, y \in \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \pm 3, ... \}}\)
18. Wykazać, ze istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ 2^n+2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\). Czy istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p >2}\) o tej właściwości ? Podać najmniejsza możliwie \(\displaystyle{ n}\) o tej własności.
19. Bez użycia kalkulatora oraz "żmudnych rachunków" etc. wykazać, że:
a) \(\displaystyle{ 13! =112296^2 - 79896^2}\)
b) \(\displaystyle{ 240^4 +340^4+ 430^4+599^4=651^4}\)
20. Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) liczb naturalnych, takie że \(\displaystyle{ a^2-4b}\) oraz \(\displaystyle{ b^2-4a}\) są kwadratami (pewnych liczb całkowitych)
21. Znależć możliwie najmniejsze takie \(\displaystyle{ k}\) iż istnieje \(\displaystyle{ f:Z \mapsto \{ 1,...,k \}}\) taka, że \(\displaystyle{ f(x) \neq f(y)}\) gdy \(\displaystyle{ |x-y| \in \{ 5, 7, 12 \}}\)
Uwaga: \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zbiór liczb całkowitych
22. Bez użycia komputera itp. znaleźć najmniejsza \(\displaystyle{ n}\), taką, że \(\displaystyle{ n^3}\) kończy się (w zapisie dziesiętnym) trzema ósemkami.

17. \(\displaystyle{ x+y=16, xy=55}\) więc \(\displaystyle{ x^2 +y^2 =146}\)

-- 18 lut 2012, o 22:33 --
-- 18 lut 2012, o 22:42 --

-- 18 lut 2012, o 23:51 --
-- 19 lut 2012, o 00:21 --

-- 19 lutego 2012, 11:59 --

Panda pisze:

1b:    

Prosty fakt: Jeśli pewne \(\displaystyle{ 2}\) liczby z naszego zbioru nie są względnie pierwsze, to można je podzielić przez NWD i tak powstałe liczby wstawić zamiast nich. Więc zakładamy że są, a to już 1a.

Sorki, ale jakoś nie rozumiem, dlatego zamieszczam swoje:
-- 19 lut 2012, o 19:46 --

Nie mam zielonego pojęcia co ja tam napisałem. Musiałem pomylić względnopierwszość całego zbioru i względnopierwszość dowolnej pary (czemu się sobie dziwię). Przepraszam

A kolega też ma, ale literówkę (nie chcę być czepialski, po prostu np. mnie wprowadziła w błąd):

tak, sorki... to \(\displaystyle{ k}\) jest oczywiście potęgą dwójki i to stąd.

@ares41: Co do \(\displaystyle{ 20:}\)