7.:
Zamiast piątki może być dowolna liczba \(\displaystyle{ s}\) różna od potęgi dziesiątki, zamiast zer dowolna sekwencja cyfr.
To dosyć znany fakt, ale jak widzę nikt jeszcze nie skojarzył.
Szkic dowodu:
Lemat 1: \(\displaystyle{ \log s \not \in \mathbb{Q}}\) (logarytm dziesiętny jakby co).
Lemat 2: \(\displaystyle{ x \not\in \mathbb{Q} \Rightarrow}\) części ułamkowe liczb \(\displaystyle{ x, 2x, 3x,...}\) są gęste w \(\displaystyle{ (0;1)}\), tj. trafiają dowolnie blisko każdego punktu przedziału.
Jeśli chcemy, by potęga \(\displaystyle{ s}\) zawierała np. ciąg \(\displaystyle{ 2009}\), to dobieramy \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ \log 2,009 < \{n \log s\} < \log 2,01}\). Na mocy lematów takie \(\displaystyle{ n}\) istnieje, co więcej można wybrać tak, by \(\displaystyle{ s^{n}}\) miało co najmniej 4 cyfry - a wtedy jak znający logarytmy wiedzą liczba ta zaczyna się od 2009...
To dosyć znany fakt, ale jak widzę nikt jeszcze nie skojarzył.
Szkic dowodu:
Lemat 1: \(\displaystyle{ \log s \not \in \mathbb{Q}}\) (logarytm dziesiętny jakby co).
Lemat 2: \(\displaystyle{ x \not\in \mathbb{Q} \Rightarrow}\) części ułamkowe liczb \(\displaystyle{ x, 2x, 3x,...}\) są gęste w \(\displaystyle{ (0;1)}\), tj. trafiają dowolnie blisko każdego punktu przedziału.
Jeśli chcemy, by potęga \(\displaystyle{ s}\) zawierała np. ciąg \(\displaystyle{ 2009}\), to dobieramy \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ \log 2,009 < \{n \log s\} < \log 2,01}\). Na mocy lematów takie \(\displaystyle{ n}\) istnieje, co więcej można wybrać tak, by \(\displaystyle{ s^{n}}\) miało co najmniej 4 cyfry - a wtedy jak znający logarytmy wiedzą liczba ta zaczyna się od 2009...
