A jak ?wyszło mi
26
rysunek
[MIX] Mix dla Świeżaków i Wapniaków
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13110
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3382 razy
- Pomógł: 801 razy
Re: [MIX] Mix dla Świeżaków i Wapniaków
26
rysunek
- Załączniki
-
- 3gf.jpg (33.44 KiB) Przejrzano 5761 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5570
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 576 razy
Re: [MIX] Mix dla Świeżaków i Wapniaków
Zadanie 18
Jeżeli weźmiemy poziome linie przechodzące przez punkty kratowe w tym kwadracie (dla ustalenia uwagi) to na przynajmniej dwóch liniach znajdą się wszystkie punkty kolorowe więc na pewno jakięś cztery utworzą trapez...
Teraz jeżeli bierzemy po dwa punkty kolorowe na jednej linii i zakładamy, że każda ich para ma inną odległość a par jest \(\displaystyle{ n}\) a wszystkich różnych odległości na linii może być co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) więc muszą być co najmniej dwie odległości równe a do tego będą na różnych poziomych liniach, więc utworzy się na pewno równoległobok...
Jeżeli weźmiemy poziome linie przechodzące przez punkty kratowe w tym kwadracie (dla ustalenia uwagi) to na przynajmniej dwóch liniach znajdą się wszystkie punkty kolorowe więc na pewno jakięś cztery utworzą trapez...
Teraz jeżeli bierzemy po dwa punkty kolorowe na jednej linii i zakładamy, że każda ich para ma inną odległość a par jest \(\displaystyle{ n}\) a wszystkich różnych odległości na linii może być co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) więc muszą być co najmniej dwie odległości równe a do tego będą na różnych poziomych liniach, więc utworzy się na pewno równoległobok...
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5570
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 576 razy
Re: [MIX] Mix dla Świeżaków i Wapniaków
Zadanie 15:
w grafie planarnym , którego żaden stopień nie schodzi poniżej trzy zachodzi:
\(\displaystyle{ E \le 3n-6}\)
gdzie \(\displaystyle{ E}\) - ilość krawędzi, \(\displaystyle{ n }\) - ilość wierzhołków
\(\displaystyle{ E= \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}}{2} }\)
gdzie \(\displaystyle{ k_{i}}\) - stopnie poszczególnych wierzchołków
otrzymamy:
(*) \(\displaystyle{ k_{1}+k_{2}+...k_{n} \le 6n-12}\)
i teraz jeżeli założymy, że suma stopni wierzchołków połączonych krawędzią jest zawsze: \(\displaystyle{ \ge 14}\)
wystarczy podzielić lewą stronę (*) na pół i polłączyć w pary wierzchołki incydentne
otrzymamy sprzeczność bo wyjdzie, że:
\(\displaystyle{ 7n \le 6n-12}\)
w grafie planarnym , którego żaden stopień nie schodzi poniżej trzy zachodzi:
\(\displaystyle{ E \le 3n-6}\)
gdzie \(\displaystyle{ E}\) - ilość krawędzi, \(\displaystyle{ n }\) - ilość wierzhołków
\(\displaystyle{ E= \frac{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}}{2} }\)
gdzie \(\displaystyle{ k_{i}}\) - stopnie poszczególnych wierzchołków
otrzymamy:
(*) \(\displaystyle{ k_{1}+k_{2}+...k_{n} \le 6n-12}\)
i teraz jeżeli założymy, że suma stopni wierzchołków połączonych krawędzią jest zawsze: \(\displaystyle{ \ge 14}\)
wystarczy podzielić lewą stronę (*) na pół i polłączyć w pary wierzchołki incydentne
otrzymamy sprzeczność bo wyjdzie, że:
\(\displaystyle{ 7n \le 6n-12}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5570
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 576 razy
Re: [MIX] Mix dla Świeżaków i Wapniaków
Czy ktoś ma pomysł na 20 (iloczyny nieskończone liczb pierwszych) ale w tym przypadku jest to szczególnie paskudne...
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13110
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3382 razy
- Pomógł: 801 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5570
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 576 razy
Re: [MIX] Mix dla Świeżaków i Wapniaków
W zadaniu 2. może wskażę jak te liczby się generują poprzez tę sumę:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+c=4;(7,8);(10,11,12);(14,15,16,17);(19,20,21,22,23);(25,...);...}\)
czyli sekwencjami idą co:2, 3, 4,5,... i po sekwencji jest jedna pusta z wyjątkiem po czwórce...
czyli tych, których brakuje zapisują się ciągiem:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n^2+3n+8}{2} }\)
a do tego dochodzą:
\(\displaystyle{ 1,2,3,5}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+c=4;(7,8);(10,11,12);(14,15,16,17);(19,20,21,22,23);(25,...);...}\)
czyli sekwencjami idą co:2, 3, 4,5,... i po sekwencji jest jedna pusta z wyjątkiem po czwórce...
czyli tych, których brakuje zapisują się ciągiem:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n^2+3n+8}{2} }\)
a do tego dochodzą:
\(\displaystyle{ 1,2,3,5}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13110
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3382 razy
- Pomógł: 801 razy