MIX
1. Wyznaczyć trzy nieskracalne ułamki \(\displaystyle{ \frac{a}{d}, \frac{b}{d}, \frac{c}{d} }\), które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i dla których \(\displaystyle{ \frac{b}{a}= \frac{1+a}{1+d} }\) i \(\displaystyle{ \frac{c}{b}= \frac{1+b}{1+d} }\).
Wietnam
2. Niech \(\displaystyle{ W }\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n }\) takim, iż \(\displaystyle{ W(j)=2^j }\) dla \(\displaystyle{ j=1,…,n+1}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ W(n+2).}\)
3. Obliczyć \(\displaystyle{ \int \ln( \frac{x}{\ln(\frac{x}{\ln(x)})} )}\) i uogólnić, gdy zagnieżdżeń jest więcej.
4. Czy jeśli \(\displaystyle{ f }\) jest funkcją określoną na zbiorze \(\displaystyle{ f(x+b)= - f(x)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) (i dla jakiegoś \(\displaystyle{ b>0}\)), i jest różna od stałej, to \(\displaystyle{ f }\) ma okres podstawowy ?
Uwagi: okres podstawowy to najmniejszy z okresów dodatnich \(\displaystyle{ f. }\)
5. Czy istnieją - i o ile to wskazać - rozwiązania równania różniczkowego
\(\displaystyle{ \begin{cases} y'' + y'+y=0 \\ y(0) = 1. \end{cases}}\)
6. Udowodnić, że można pomalować wszystkie wierzchołki grafu planarnego na trzy kolory tak, że nie ma on jednokolorowych cykli.
7. Trzy równania; rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych
i) \(\displaystyle{ z^i = i,}\)
ii) \(\displaystyle{ z^i = i^z, }\)
iii) \(\displaystyle{ i^z = z. }\)
8. Wyjaśnić, kiedy istnieje ścieżka, w której wielbłąd przejdzie z jednego rogu kwadratowej szachownicy do rogu przeciwległego ?
Wielbłąd to pseudofigura podobna do konia (ruchy (3,1) a nie (2,1)).
9. Konstrukcje geometryczne
Jak mając dane dwa rożne punkty i prostą skonstruować okrąg, do którego należą te punkty i który jest też styczny do prostej ?
A jak gdy dane są dwie proste i punkt ?
10. Iteracje i ciąg Fibonacciego
Niech \(\displaystyle{ f (x)= \frac{1}{1+x} }\) i niech \(\displaystyle{ g_n(x)= f(x)+ f(f(x))+ … + f^{n}(x)}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ g_n}\) jest silnie rosnąca
i że \(\displaystyle{ g_n(1)=\frac{F_1}{F_2}+…+ \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}. }\)
Singapur
11. Długości boków trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^3 -27x^2 +222x -540}\).
Wyznaczyć iloczyn \(\displaystyle{ Rr}\) dla tego trójkąta i spradzić czy jest ostrokątny.
Oznaczenia standardowe
12. Na tablicy wypisano liczbę \(\displaystyle{ n}\), która jest podzielna przez 9 i po tym podzieleniu powstaje liczba \(\displaystyle{ k}\), która jest też podzielna przez 9 i która z drugiej strony powstaje z \(\displaystyle{ n}\) przez skreślenie jednej cyfry.
Wykazać, że taką samą własność ma \(\displaystyle{ k}\).
Wyznaczyć wszystkie takie liczby.
Przykład: \(\displaystyle{ n = 25 \cdot 81.}\)
Rosja
13. Wyjaśnić czy istnieje \(\displaystyle{ f}\) , dla której nie istnieje \(\displaystyle{ g }\) taka, że \(\displaystyle{ f(x)= g( g( g(x)) ).}\)
14. Plutowowy Maślanka i kapral Chudotłusty podjęli taki eksperyment: Maślanka losuje ze zwracaniem \(\displaystyle{ n-1}\) liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, n+1\}}\), zaś Chudotłusty losuje też ze zwracaniem \(\displaystyle{ n}\) liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, n\}}\). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że maksymalna z liczb kaprala jest większa od masymalnej z liczb plutonowego ?
15. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{x+2y} = y^{y-2x} \\ xy = 1. \end{cases}}\)
16. Czy można okleić sześcian trzema nienakładającymi się na siebie papierowymi trójkątami ?
17. Trudny Diofantos ?
Przeprowadzić analizę równania \(\displaystyle{ 2(x_1-1)…(x_n-1)= x_1…x_n + 1}\), gdzie \(\displaystyle{ x_j}\) są liczbami naturalnymi.
W szczególności wykazać że ma ono tylko skończoną liczbę rozwiązań (przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\)) i wskazać ich przykłady.
Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) rozwiązanie istnieje ?
18. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \frac{d^2 y}{dx^2}}\) gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t^2 \\ y= t+ t^3. \end{cases} }\)
19. Udowodnić, że wyrażenie \(\displaystyle{ 1^k+…+n^k }\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k+1 }\) zmiennej \(\displaystyle{ n }\) i że współczynnik przy \(\displaystyle{ n^k }\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}.}\).
* Kiedy składnik z \(\displaystyle{ n^2 }\) znika ?
Przykład (suma bikwadratów)
\(\displaystyle{ 1^4+…+n^4= \frac{1}{5}n^5+ \frac{1}{2}n^4+ \frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{30}n }\)
20. Matriksy
i) Udowodnić, że wznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\), której element \(\displaystyle{ a_{i,j}}\) jest równy \(\displaystyle{ NWD(i, j)}\) to \(\displaystyle{ \prod_{j=1}^n \phi(j).}\)
ii) Udowodnić, że wznacznik macierzy \(\displaystyle{ B}\), której element \(\displaystyle{ a_{i,j}}\) jest równy \(\displaystyle{ NWW(i, j)}\) to \(\displaystyle{ \prod_{j=1}^n (-1)^{\omega(j)}\phi(j) \gamma(j).}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ i}\) jest numerem wiersza, zaś \(\displaystyle{ j}\) kolumny,
\(\displaystyle{ \gamma(j)}\) to iloczyn wszystkich liczb pierwszych, które dzielą \(\displaystyle{ j,}\)
\(\displaystyle{ \phi()}\) jest funkcją Eulera.
21. Scharakteryzować rozmieszczenie w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) wszystkich tych liczb, które w rozkładzie na sumę kwadratów wymagają trzech, bądź mniej składników.
22. Zakłądając, że \(\displaystyle{ m }\) oraz \(\displaystyle{ n }\) są liczbami naturalnymi, i \(\displaystyle{ mn \neq 1 }\) zaś \(\displaystyle{ k =\frac{m^2+mn+n^2}{mn-1}}\) też jest liczbą naturalną ustalić jakie wartości może mieć \(\displaystyle{ k }\) ?
23. Niech \(\displaystyle{ a }\) i \(\displaystyle{ b }\) będa liczbami rzeczywistymi o sumie 2. Wykazać równoważność warunków:
i) \(\displaystyle{ \min \{ a, b \} < 1 < \max \{ a, b \}}\)
ii) \(\displaystyle{ a, b \in (-3, 1).}\)
RMC
24. Jak zwinąć sumę \(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j<k \le n} \frac{i+j}{k}}\) ?
25. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f : \RR^{+} \to \RR^{+},}\) które są takie, że \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x}) \ge 1- \frac{\sqrt{ f(x) f(\frac{1}{x}) }}{x} \ge x^2 f(x)}\)
gdy \(\displaystyle{ x \in \RR^{+}}\) (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich).
N. Abel C.
26. Mając dane \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+ x + \frac{f(x)}{x}}=e^3}\) obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+ \frac{f(x)}{x}}.}\)
Mathlogy
27. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) istnieje wielomian, który ma \(\displaystyle{ k}\) punktow przegięcia, ale nie ma żadnego ekstremum lokalnego ?
28. Punkty
i) Ile jest trójkątów, które wyznacza \(\displaystyle{ n}\) punktów na płaszczyźnie, spośród których \(\displaystyle{ m}\) jest współliniowych a z pozostałych nie ma żadnych trzech współliniowych ?
ii) Ile jest czworościanów, które które wyznacza \(\displaystyle{ n}\) punktów w przestrzeni, spośród których \(\displaystyle{ m}\) jest współpłaszczyznowych a z pozostałych nie ma żadnych czterech współpłaszczyznowych ?
29. Sfera wpisana w czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) jest styczna do ściany \(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ H}\), a sfera dopisana do tej ściany: w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisano na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), to \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum tego trójkąta.
30. Problemowe
Nieskończony przeciwobraz
Jesli \(\displaystyle{ f: X \to Y }\) jest funkcją, to chcemy zdefiniować \(\displaystyle{ f^{-\infty} (Z) }\) jeśli \(\displaystyle{ Z \subset Y }\).
Jakie własności ma taki przeciwobraz nieskończony ?
Przeprowadzić stosowną dyskusję.
