Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-ax}{(1+x)a^2x^3}}\)

hmm gdy \(\displaystyle{ a=1}\) to \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\)

Jakie jest źródło tego zadania?

Z jakiejś starej Delty; może uda sie poszukac jeszcze zrodła i rozwiazania firmowego.

\(\displaystyle{ a=3k-1}\) np. \(\displaystyle{ a=2 \ b=5}\); czy sa to wszystkie rozwiazania ?

podstawmy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)(pod \(\displaystyle{ x}\)) otrzymując \(\displaystyle{ \red{\frac{a}{x^2}}\cdot f(x)+f(\frac{1}{x})= \frac{1}{1+x}}\) pomnóżmy tą równość przez\(\displaystyle{ -ax^2}\), (otrzymuje \(\displaystyle{ -a^2f(x)-ax^2f(\frac{1}{x})=-\frac{ax^2}{x+1}}\)) a następnie zsumujmy z początkowym równaniem. Mamy wtedy:\(\displaystyle{ (1-a^2)f(x)=\frac{x}{1+x}\cdot (1-ax)}\) co daje sprzeczność, bo prawa strona dla \(\displaystyle{ x>0}\) przyjmuje wartości zarówno dodatnie jak i ujemne. Teraz powinno być dobrze

rozwiazanie firmowe (szkic)
Jeśli \(\displaystyle{ e_j \in \{ -1, 1 \}}\) to niech \(\displaystyle{ w(e_1,...e_n)= e_1a_1v_1+ ...+ e_na_nv_n}\) a tj. \(\displaystyle{ |w(e_1,...e_n)| \leq 1}\).
Niech \(\displaystyle{ f: \{-1, 1\}^n \to \RR}\): \(\displaystyle{ f (e_1,..., e_n)= (w(e_1,..., e_n))^2}\). f ma maksimum w punkcie \(\displaystyle{ (E_1,...E_n)}\).
Oraz \(\displaystyle{ <v_j, w(E_1,...E_n) \geq a_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., n}\).
Prosta o kierunku takim jak wektor \(\displaystyle{ w(E_1,...,E_n)}\) jest prosta z tezy zadania.

co daje sprzeczność, bo prawa strona dla x>0 przyjmuje wartości zarówno dodatnie jak i ujemne

Jesli jednak założyć \(\displaystyle{ -1< a<0}\) to \(\displaystyle{ f}\) istnieje

Płaszczyzna `P_a` dana równaniem `x+y+z=a` jest prostopadła do przekątnej sześcianu jednostkowego i przecina jego krawędzie:
w trzech punktach, których współrzędne są permutacjami liczb `0,0,a` gdy `0\le a\le 1`
w trzech punktach, których współrzędne są permutacjami liczb `1,1,a-2` gdy `2\le a\le 3`
w sześciu punktach, których współrzędne są permutacjami liczb `0,1,a-1` gdy `1< a< 2`

Kwadrat promienia okręgu leżącego w płaszczyżnie `P_a` o środku na przekątnej (czyli w punkcie `(a/3,a/3,a/3)`) i przechodzącego przez punkty przecięcia ma wartość
\(\displaystyle{ K(a)=\begin{cases}
\frac{2}{3}a^2 & \text{ gdy } 0\le a\le 1\\
\frac{2}{3}a^2-2a+2 &\text{ gdy } 1< a< 2\\
\frac{2}{3}(a-3)^2 &\text{ gdy } 2\le a\le 3
\end{cases}}\)
Szukana objetość bryły obrotowej wynosi zatem
\(\displaystyle{ \pi\int_0^3 K(a)da=\pi}\)