Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Na początku zauważmy, że ciąg \(\displaystyle{ \{a_{2n} : n \in \mathbb{N}\}}\) jest malejący, a ciąg \(\displaystyle{ \{a_{2n-1} : n \in \mathbb{N}\}}\) rosnący. Istotnie rozpisując dostajemy:
Więc \(\displaystyle{ a_{2n-2}-a_{2n}}\) jest tego samego znaku co \(\displaystyle{ a_{2n-1}-a_{2n-3}}\), ale rozpisując analogicznie \(\displaystyle{ a_{2n-1}-a_{2n-3}}\) dostajemy, że jest ono tego samego znaku co \(\displaystyle{ a_{2n-4}-a_{2n-2}}\), czyli \(\displaystyle{ a_{2n-2}-a_{2n}}\) jest tego samego znaku co \(\displaystyle{ a_2-a_4 > 0}\), skąd dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ a_{2n-2} > a_{2n}}\), a stąd \(\displaystyle{ a_{2n-1} > a_{2n-3}}\). Ciąg \(\displaystyle{ a_{2n}}\) jest ograniczony z dołu np przez \(\displaystyle{ 0}\), jest więc zbieżny do jakiegoś \(\displaystyle{ g_a}\). Zauważmy też, że \(\displaystyle{ a_{2n+1} = 1+\frac{1}{1+a_{2n}} < 1+1 = 2}\), skąd ciąg \(\displaystyle{ a_{2n+1}}\) jest ograniczony z góry, więc zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ g_b}\). Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ a_{2n+1} = \frac{2+a_{2n}}{1+a_{2n}} = \frac{3+\frac{1}{1+a_{2n-1}}}{2+\frac{1}{1+a_{2n-1}}}}\)
Przechodząc z n do nieskończoności dostajemy, że \(\displaystyle{ g_b = \sqrt{2}}\), analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ g_a = \sqrt{2}}\), skąd istotnie \(\displaystyle{ g_a = g_b}\) cnd.
