Matematyka.pl

Jest odcinek o długości \(\displaystyle{ c}\) i drugi odcinek o długości \(\displaystyle{ h}\) prostopadły do pierwszego i mający z nim dokładnie jeden punkt wspólny. Mamy zatem dwa odcinki, cztery końce i trzy "wolne" końce, czyli takie, które należą dokładnie do jednego z odcinków. Te trzy wolne końce tworzą trójkąt ostrokątny.
Niech "niewolny" koniec odcinka \(\displaystyle{ h}\) jest oddalony od ustalonego końca odcinka \(\displaystyle{ c}\) o \(\displaystyle{ x}\). Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}+h^{2}}+ \frac{1}{\left( c-x\right)^{2}+h^{2} }}\) w przedziale \(\displaystyle{ [0,c]}\).


Hipoteza

Co za beznadziejnie napisana treść xddd.
1. Na początku piszesz, że z tego, że 2 odcinki mają dokładnie 1 punkt wspólny wynika, że 3 spośród ich 4 końców należą do dokładnie jednego z nich, ale tu jeszcze się skapowałem, o co chodzi.
2. Nie jestem pewien, czy dobrze zrozumiałem treść, ale jeżeli dobrze zrozumiałem, to można z niej wywalić wszystko oprócz ostatniego zdania.

? ... -Pe0KfU48o Obrazek do zadania powinien być po lewej w tle.

Ale po co ta cała gadka o tych odcinkach, skoro polecenie mogłoby brzmieć tak:

Brycho pisze:Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}+h^{2}}+ \frac{1}{\left( c-x\right)^{2}+h^{2} }}\) w przedziale \(\displaystyle{ [0,c]}\).

???

interpretacje geometryczne są spoko

Brycho, minimum nie zawsze wypada w końcach przedziału. Rozważ na przykład sytuację, w której \(\displaystyle{ 2h=c}\) - wtedy na środku masz minimum

To zmienię treść :
wykaż, że w każdym trójkącie ostrokątnym można wybrać taki bok (oznaczmy go przez \(\displaystyle{ c}\)), że spośród trójkątów nierozwartokątnych o podstawie \(\displaystyle{ c}\) oraz polu i wysokości opuszczonej na \(\displaystyle{ c}\), takimi jak w pierwotnym trójkącie, największą sumę odwrotności boków ma trójkąt prostokątny.

sumę odwrotności boków czy sumę odwrotności kwadratów boków?

tak jeszcze gwoli ścisłości: sumę odwrotności długości boków czy sumę odwrotności kwadratów długości boków?

Sumę odwrotności kwadratów długości boków.

Policz pochodną i trzask.

No właśnie nie do końca taki trzask

Nie liczyłem . Miałem tylko nadzieję, że tak pójdzie . Ale serio nie trzask?

Serio ale to może mieć coś wspólnego z faktem, że nie jestem zbyt biegły. Ja tam próbowałem to męczyć nierównością o średnich, ale bardzo wrednie te nierówności się układają.

Jensena dla funkcji wypukłej

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x^2 + h^2}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ f(x) + f(c-x) \ge 2 f\left( \frac{c}{2}\right) = \frac{2}{\left( \frac{c}{2}\right)^2 + h^2 }}\)

Teraz warto się zastanowić nad przypadkiem, gdy funkcja nie jest wypukła

Ok, jak wrzuciłem do wolframa, to wypluł poza przypadkiem \(\displaystyle{ x=\frac{c}{2}}\) mnóstwo innych rozwiązań, które są paskudne, ale przedstawione w postaci jawnej. Nie wiem, czy to zadanie ma jakieś fajne rozwiązanie.