Wyznaczyć minimalne \(\displaystyle{ v}\), takie, aby zając zdołał uciec przed pociągiem i w którą stronę ma uciekać
Zając i pociąg
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 10257
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3002 razy
- Pomógł: 730 razy
Zając i pociąg
Zając porusza się z prędkością \(\displaystyle{ v}\) i musi przemknąć przez tory kolejowe wprost na grządkę kapusty; i będąc w odległości \(\displaystyle{ d}\) od torów dostrzega pędzącą lokomotywę odległą od nigo o \(\displaystyle{ l}\) \(\displaystyle{ (l > d)}\).
Wyznaczyć minimalne \(\displaystyle{ v}\), takie, aby zając zdołał uciec przed pociągiem i w którą stronę ma uciekać
Wyznaczyć minimalne \(\displaystyle{ v}\), takie, aby zając zdołał uciec przed pociągiem i w którą stronę ma uciekać
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 33178
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5128 razy
Re: Zając i pociąg
\(\displaystyle{ v=0}\) - zając stoi w miejscu, więc pociąg go nie dopadnie (bo nie stoi na torach), więc ucieknie przed pociągiem.
JK
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 33178
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5128 razy
Re: Zając i pociąg
No przecież masz napisane, że lokomotywa "pędzi", więc pewną informację o prędkości pociągu posiadasz.
JK
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 10257
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3002 razy
- Pomógł: 730 razy
Re: Zając i pociąg
z prędkościa \(\displaystyle{ u}\)lokomotywa "pędzi",
Dodano po 1 minucie 47 sekundach:
--> stanie wyklucza uciekanie...
-
AiDi
- Moderator
- Posty: 3830
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Zając i pociąg
\(\displaystyle{ v_{min}=\frac{d}{l}u}\) a kąt ostry jaki tworzy ten wektor z torami dany jest przez zależność \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{d}{l}}\) no i skierowany jest on "w tym samym kierunku" co jedzie pociąg.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 33178
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5128 razy
Re: Zając i pociąg
Ale to może być rozsądny zając i wie, że czasami lepiej się nie ruszać i poczekać, aż pociąg przejedzie obok (a potem spokojnie pokicać do kapusty).
Chodzi raczej o to, że sformułowanie zadania jest niezbyt szczęśliwe, bo o ile rozumiem zając wcale nie ma uciekać przed pociągiem, tylko wręcz przeciwnie - raczej (szukając adrenaliny) rzuca się pod pociąg, ale na tyle szybko, że zdąży przeskoczyć mu przed nosem (tzn. lokomotywą)...
JK
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 10257
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3002 razy
- Pomógł: 730 razy
Re: Zając i pociąg
A czemu tak\(\displaystyle{ v_{min}=\frac{d}{l}u}\)
Oczywiście: skomplikowana psychika zająca może uczynić zadanie niemożliwym do rozwiązania; poza tym jak wiadomo z kina "zając lubi buraczki"...Ale to może być rozsądny zając i wie, że czasami lepiej się nie ruszać i poczekać, aż pociąg przejedzie obok (a potem spokojnie pokicać do kapusty).
-
AiDi
- Moderator
- Posty: 3830
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Zając i pociąg
Przechodzimy do układu odniesienia związanego z pociągiem. W układzie tym prędkość zająca jest wektorową sumą prędkości \(\displaystyle{ -\vec{u}}\) i jego (nieznanej) prędkości względem ziemi. No i jak się odpowiednio długo popatrzy na odpowiedni rysunek, który załączam, to widać dlaczego \(\displaystyle{ \vec{v}_{min}}\) jest jakie jest
- Załączniki
-
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 21711
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 3678 razy
Re: Zając i pociąg
Oznaczmy `s=\sqrt{l^2-d^2}`. Zakładając, że pociąg i zając to punkty materialne rozpatrzmy trzy przypadki.
1) `d/x<s/u` - zając biegnąc prostopadle do toru przemyka przed pociągiem
2) `d/x>s/u` - zając biegnąc prostopadle do toru przemyka za pociągiem
3) `d/x=s/u` - zając biegnąc prawie prostopadle do toru w kierunku nadjeżdżającego pociągu przemyka za pociągiem.
1) `d/x<s/u` - zając biegnąc prostopadle do toru przemyka przed pociągiem
2) `d/x>s/u` - zając biegnąc prostopadle do toru przemyka za pociągiem
3) `d/x=s/u` - zając biegnąc prawie prostopadle do toru w kierunku nadjeżdżającego pociągu przemyka za pociągiem.
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2023, o 20:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 10257
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3002 razy
- Pomógł: 730 razy
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 10257
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3002 razy
- Pomógł: 730 razy
Re: Zając i pociąg
Czy zając musi pędzić prostopadle do toru
- Załączniki
-
- poc.png (2.6 KiB) Przejrzano 557 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 21711
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 3678 razy
Re: Zając i pociąg
W zasadzie tak. Szansa, że trafi w pociąg jest zerowa.
Oczywiście zadanie interpretuje się tak, że zając ma zdążyć PRZED pociągiem. I wtedy trzeba paru rachunków
Oczywiście zadanie interpretuje się tak, że zając ma zdążyć PRZED pociągiem. I wtedy trzeba paru rachunków
-
AiDi
- Moderator
- Posty: 3830
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Zając i pociąg
Nie (no chyba że \(\displaystyle{ l\approx d}\)), a kąt pod jakim biegnie podałem wyżej. Jak ktoś nie lubi zabaw ze zmianą układu odniesienia i woli rozwiązania bardziej matematyczne:
zapiszmy równania ruchu pociągu i zająca (oś OX pokrywa się z torami, oś OY przechodzi przez początkowe położenie zająca):
\(\displaystyle{ x_p(t)=-x_o+ut \\
x_z(t)=v\cos\alpha t\\
y_z(t)=-d+v\sin\alpha t}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_0=\sqrt{l^2-d^2}}\), a kąt alfa jest szukanym przez nas kątem minimalizującym v.
Z równań otrzymujemy zależność
\(\displaystyle{ \frac{ud}{v}=d\cos\alpha+x_0\sin\alpha}\)
która osiąga maximum dla \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{d}{l}}\).
Zajanuszuję sobie jeszcze i zainteresowanych odeślę do książki (obu tomów) Fizyka, Butikow, Bykow, Kondratiew. Znaleźć tam można więcej tego typu zadań (wraz z rozwiązaniami).