Matematyka.pl

Walec o masie \(\displaystyle{ m}\) ślizga się z prędkością liniową \(\displaystyle{ v_0}\) bez obrotów po gładkiej poziomej płaszczyźnie w kierunku prostopadłym do osi walca. W pewnej chwili walec dociera do granicy, na której powierzchnia płaszczyzny staje się szorstka, wskutek czego na walec zaczyna działać siła tarcia posuwistego. Jaki będzie ruch walca po przejściu tej granicy? Po jakim czasie \(\displaystyle{ t_0}\) i z jaką prędkością \(\displaystyle{ v}\) nastąpi ruch bez poślizgu, jeżeli współczynnik tarcia wynosi \(\displaystyle{ \mu}\), promień walca \(\displaystyle{ R}\), a jego moment bezwładności \(\displaystyle{ I_0}\)?

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Walec tocząc się po z idealnej powierzchni natrafia na powierzchnię chropowatą-o znacznym współczynniku tarcia \(\displaystyle{ \mu}\).Występuje zjawisko toczenia walca z poślizgiem. Występuje zmiana prędkości środka masy walca. Prędkość początkowa walca \(\displaystyle{ v _{o} }\) musi się zmniejszyć- ruch opóźniony.

Do rozwikłania zagadnienia wykorzystujemy dynamiczne równania ruchu dla środka masy walca, który wykonuje jednocześnie ruch postępowy i obrotowy -ruch płaski. Z równań określimy przyśpieszenia w tym ruchu.
Kinematyczne równania ruchu pozwolą określić czas i prędkość toczącego się walca.

Dodano po 9 dniach 3 godzinach 21 minutach 38 sekundach:
1.Równania kinematyczne ruchu postępowego i obrotowego
\(\displaystyle{ v=v _{o} -at}\), (1)
\(\displaystyle{ \omega= \varepsilon \cdot t}\), bo \(\displaystyle{ \omega _{o}=0 }\), (2)

2. Równania dynamiczne dla jednoczesnego ruchu postępowego i obrotowego
\(\displaystyle{ m \cdot a=T}\) (3), gdzie T- siła tarcia rozwiniętego
\(\displaystyle{ T \cdot R=J _{o} \cdot \varepsilon }\), (4)
..........................................
Ponadto rozw. powyższe równania wykorzystujemy zależności:
\(\displaystyle{ v = \omega \cdot R}\), (5)
\(\displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}\), (6)
\(\displaystyle{ T=\mu \cdot N}\), \(\displaystyle{ N=mg=G}\), (7)
\(\displaystyle{ J _{o}= \frac{mR ^{2} }{2} }\)- (8), masowy moment bezwładności wzgl. osi przechodzącej przez środek masy walca p. "0"
\(\displaystyle{ \varepsilon }\)- przyspieszenie kątowe
\(\displaystyle{ a }\)- przyśpieszenie liniowe środka masy walca