Matematyka.pl

Wahadło wychylono o kąt \(\displaystyle{ \alpha_0=3^\circ}\) i nadano mu w tym położeniu prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega_0=0,2s^{-1}}\). a) Obliczyć maksymalne wychylenie kątowe \(\displaystyle{ \alpha_m}\) oraz maksymalną prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega_m}\), jeżeli okres wahań jest równy \(\displaystyle{ T=2s}\). b) Obliczyć fazę początkową \(\displaystyle{ \varphi_0}\) wahań.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Zacznijmy od tego \(\displaystyle{ \alpha_m}\). Nie bardzo rozumiem co tu się w ogóle dzieje.

Dodano po 1 dniu 14 godzinach 18 minutach 49 sekundach:
Podbijam pytanie.

Czego konkretnie nie rozumiesz? Pytanie jest dosyć jasno postawione. Masz wzory?

No nie rozumiem jak obliczyć to maksymalne wychylenie kątowe \(\displaystyle{ \alpha_m}\). Z czego to policzyć? Na początku nadano pewną prędkość kątową w pewnym położeniu, ale pulsacja wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2s} }\), więc nie wiem jak to razem będzie.

Równanie ruchu to w tym wypadku:
$$ \alpha\left(t\right) = \alpha_m\sin\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_0\right) $$
Różniczkując po czasie otrzymujemy:
$$ \omega\left(t\right) = \alpha_m\frac{2\pi}{T}\cos\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_0\right) $$
Znasz wartości \(\alpha(0)\) i \(\omega(0)\). Masz zatem \(2\) równania i \(2\) niewiadome (\(\alpha_m\) i \(\varphi_0\)).

Trzeba wyjść od równania różniczkowego ruchu wahadła matematycznego dla niewielkich wychyleń. Nie rozpoczynamy rozwiązywanie zadania od gotowych wzorów.

1. Dynamiczne równania ruchu wzgl. osi \(\displaystyle{ \tau }\) i n
\(\displaystyle{ -m \cdot a _{\tau} -mg \cdot \sin\phi=0}\),(1), wyznaczając kąt \(\displaystyle{ \phi}\) znajdziemy równanie ruchu wahadła w funkcji czasu \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ -\frac{mv ^{2} }{l} -mg\cos\phi+N=0}\), (2)- z tego równania możemy określić napięcie \(\displaystyle{ N}\)
.........................................................
Wykorzystując związki między prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega}\), a liniową \(\displaystyle{ v}\) oraz między przyśpieszeniem stycznym \(\displaystyle{ a _{} \tau}\), a kątowym \(\displaystyle{ \epsilon}\) mamy postać równania (1);
\(\displaystyle{ ml \frac{d ^{2} \phi }{dt ^{2} } =-mg \cdot \sin\phi}\), (3) lub
\(\displaystyle{ \frac{d ^{2} \phi }{dt ^{2} } + \frac{g}{l} \cdot \sin\phi=0}\), (4)
/ Dla małych kątów zachodzi \(\displaystyle{ \sin\phi= \phi}\) stąd ostateczna postać równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu
\(\displaystyle{ \ddot{\phi}+ \frac{g}{l} \phi=0}\) (5)
Oznaczamy stałą wielkość \(\displaystyle{ k ^{2}= \frac{g}{l} ,}\) stąd \(\displaystyle{ k = \sqrt{ \frac{g}{l} } }\), teraz mamy równanie w postaci
\(\displaystyle{ \ddot{\phi}+ k ^{2} \phi=0}\) (6)
2.Rozwiązaniem równia (6) jest całka ogólna opisująca ruch wahadła w postaci
\(\displaystyle{ \phi=C _{1} \cos kt+C _{2}\sin kt }\), (7)
2.1 Stałe \(\displaystyle{ C _{1} }\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\) wyznaczamy w oparciu o warunki początkowe ruchu
\(\displaystyle{ t=0 \Rightarrow\phi=\phi _{o} }\), (8)
\(\displaystyle{ t=0 \Rightarrow \frac{d\phi}{dt}=\dot\phi=\omega _{o} }\), (9)
.....................................................................
Poprawka oznaczenia stałej "k"
\(\displaystyle{ k ^{2} = \frac{g}{l} }\)
\(\displaystyle{ k= \sqrt{ \frac{g}{l} } }\)

Dodano po 1 godzinie 46 minutach 16 sekundach:
2.2 Wyznaczone stałe:
- \(\displaystyle{ C _{1} =\phi _{o} }\)
/ W zadaniu oznaczono \(\displaystyle{ \alpha _{o} }\)/
- \(\displaystyle{ C _{2}= \frac{\dot\phi}{k}= \frac{\omega _{o} }{k} }\), (10)
3. Po podstawieniu stałych całka ogólna równania (7) jest równa
\(\displaystyle{ \phi =\phi _{o} \cos kt+ \frac{\omega _{o} }{k} \sin kt }\), (11)
4. Można równanie ruchu (11) przedstawić w prostszej, bardziej czytelnej postaci stosując podstawienia i wykorzystując wzór na sinus sumy dwóch kątów:
\(\displaystyle{ A \sin \beta =\phi _{o} }\), (12)
\(\displaystyle{ A \cos \beta = \frac{\omega _{o} }{\omega} }\), (13)
/Gdzie: \(\displaystyle{ A}\)- amplituda ruchu, \(\displaystyle{ \beta }\)-to faza ruchu harmonicznego/
4a. \(\displaystyle{ \phi =A \cdot \sin \beta \cdot \cos kt+ A \cdot cos \beta \cdot \sin kt }\). (14)
4b. Stosujac wzór- sinus sumy dwóch kątów mamy równanie ruchu w postaci;
\(\displaystyle{ \phi=A \cdot \sin \cdot ( kt+ \beta ) }\), (15)

Dodano po 51 minutach 27 sekundach:
5. Prędkość kątowa ruchu stałej
\(\displaystyle{ \frac{d\phi}{dt} =\dot\phi=\omega=A \cdot k \cdot \cos(kt+ \beta )}\), (16)
/Pochodna równania ruchu \(\displaystyle{ \frac{d\phi}{dt} }\)/
6. Wyznaczenie amplitudy \(\displaystyle{ A}\) i fazy ruchu \(\displaystyle{ \beta }\)
Korzystamy z podstawień (12) i (13)
\(\displaystyle{ A \cdot \sin \beta =\phi _{o} }\)
\(\displaystyle{ A \cdot \cos \beta = \frac{\omega _{o} }{\omega} }\)
Po podniesieniu do kwadratu podstawień i dodając stronami otrzymamy:
\(\displaystyle{ A= \sqrt{ \phi ^{2} _{o} + \frac{\omega ^{2} _{o} }{\omega ^{2} }} }\), (17)
7. Faza ruchu \(\displaystyle{ \beta }\). / Dzielimy stronami podstawienia (12) i (13)/
\(\displaystyle{ \tg \beta = \frac{\phi _{o} \cdot \omega}{\omega _{o} } }\), (18)
.............................................................................................
Wyznaczone wielkości obarczone minimalnym błędem przy niewielkich wychyleniach!

Dodano po 1 dniu 17 godzinach 37 minutach 31 sekundach:
II. Wyznaczenie równania ruchu wahadła matematycznego w oparciu o Zasadę Zachowania Energii Mechanicznej
1. \(\displaystyle{ E _{m}=E _{k} +E _{p} =const.}\), (19)
2. Energia kinetyczna w ruchu postępowym
\(\displaystyle{ E _{k}= \frac{mv ^{2} }{2} }\), (20)
Podstawiając związki \(\displaystyle{ v=\omega \cdot l= \frac{d\varphi}{dt} \cdot l=l \cdot \dot\varphi\ }\) , mamy postać energii kinetycznej w ruchu obrotowym
\(\displaystyle{ E _{k}= \frac{m}{2}(\dot\varphi \cdot l) ^{2} }\), (21)
3. Energia potencjalna
\(\displaystyle{ E _{p} =mg \cdot h = mg \cdot l(1-\cos\varphi)}\), (22)
4. Energia mechaniczna(19) przyjmuje teraz postać
\(\displaystyle{ \frac{m}{2}(\dot\varphi \cdot l) ^{2} +mg \cdot l(1-\cos\varphi)=const.}\), (23) / różniczkujemy obie strony wzgl. czasu otrzymując
\(\displaystyle{ ml ^{2} \cdot \dot\varphi \cdot \ddot\varphi +mgl\dot\varphi \cdot \sin\varphi=0}\), (24),
5. Równanie wahadła - po przekształceniach (24)
\(\displaystyle{ \ddot\varphi+ \frac{g}{l} \sin\varphi=0}\), (25)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\varphi}\), dla małych kątów, ostatecznie mamy postać równania wahadła
\(\displaystyle{ \ddot\varphi+ \frac{g}{l} \varphi=0}\), (26)
/ Równanie tożsame z równaniem(5) - dynamiczne równania ruchu. Patrz powyżej jego rozwiązanie!/
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
P.S.
Pozostaje do do obliczenia wartość reakcji - napięcia w nici-\(\displaystyle{ N}\)