Matematyka.pl

Wahadło Maxwella składa się z grubego dysku o promieniu \(\displaystyle{ R}\), umocowanego na osi o promieniu \(\displaystyle{ r}\). Oś dysku zawieszona jest na dwóch nawiniętych na nią nitkach. Przyjmując, że ruch postępowy wahadła zachodzi w płaszczyźnie pionowej, znaleźć jego przyspieszenie. Moment bezwładności osi pominąć, przysp. ziemskie = \(\displaystyle{ g}\).

Siła naciągu nici (od sufitu do osi \(\displaystyle{ r}\)) wraz z siłą ciężkości stanowi o ruchu postępowym?
Co powoduje ruch obrotowy?

Moment siły naciągu nici (mowa o ruchu obrotowym wokół osi przechodzącej przez środek masy).

Gruby dysk o masie \(\displaystyle{ m}\) i promieniu \(\displaystyle{ R }\) odwijając się z nieważkiej nici zamocowanej na osi o promieniu \(\displaystyle{ r}\) wykonuje ruch płaski( ruch obrotowy i postępowy środka masy p.O). Po ustaleniu sił w układzie - patrz rysunek wypisujemy równania ruchu ciała- dysku o masie \(\displaystyle{ m;}\)

1. Dynamiczne równanie ruchu obrotowego środka masy na rys. punkt O- oś obrotu:
\(\displaystyle{ M _{o} =J _{o} \cdot R}\), (1)
Gdzie moment obrotowy \(\displaystyle{ M _{o} }\) od siły reakcji \(\displaystyle{ N }\) w linie jest równy
\(\displaystyle{ M _{o}= N \cdot R }\), (2)
\(\displaystyle{ J _{o} }\)- moment bezwładności dysku wzgl.osi przechodzącej przez punkt O.
2. Dynamiczne równanie ruchu postępowego
\(\displaystyle{ m \cdot a=mg-2N}\) , (3)
3. Dodatkowe równanie wiążące przyspieszenia-związek między przyśpieszeniem liniowym \(\displaystyle{ a}\) i przyśpieszeniem kątowym \(\displaystyle{ \varepsilon}\)
\(\displaystyle{ a= \varepsilon \cdot R}\), (4)
.....................................................................................................................................
Wypisane równania pozwalają obliczyć szukane wielkości
.......................................................................
1' Drugi sposób opisania dynamicznego ruchu obrotowego
Rozumowanie :w każdej chwili dysk zachowuje się tak, jakby obracał się wokół prostej prostopadłej do płaszczyzny rysunku w punkcie \(\displaystyle{ A}\)- [patrz rysunek- tkzw chwilowa oś obrotu. Równanie ma postać:
\(\displaystyle{ M _{A} =J _{A} \cdot \varepsilon }\), ( 1')
Gdzie moment obrotowy wzgl. osi przechodzącej przez p.A jest równy:
\(\displaystyle{ M _{A}= mg \cdot R }\), (2')
{ Siła reakcji \(\displaystyle{ N }\)nie występuje w równaniu 2', bowiem przechodzi przez oś obrotu i moment od tej siły jest równy zero.
Mamy tym sposobem prostsze równanie ruchu obrot.}
Moment bezwładności dysku -masy \(\displaystyle{ m}\) wzgl. osi przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) jest równy
\(\displaystyle{ J _{A}=J _{o}+ m \cdot R ^{2} }\)- zastosowano tw. Steinera

Zasada zachowania energii całkowitej

\(\displaystyle{ E(t) = E_{p}(t) + E_{k})(t) + E_{o}(t) = const.}\)

\(\displaystyle{ E(t) = \ \ ...}\)

\(\displaystyle{ E'(t) = 0 }\)

Rozwiązanie elementarnego równania różniczkowego - zwyczajnego rzędu I.

\(\displaystyle{ a = v'(t) = \ \ ... }\)