Matematyka.pl

W jakiej odległości \(\displaystyle{ d}\) od środka należy zamocować jednorodny pręt o długości \(\displaystyle{ 1 m}\), aby pręt tworzył wahadło fizyczne o najmniejszym okresie?

Proszę o pomoc

Oznaczamy nieznaną odległość przez \(\displaystyle{ x}\) m.

Znajdujemy minimum lokalne funkcji kwadratu okresu wahadła fizycznego (łatwiejsze rachunki)

\(\displaystyle{ T^{2}(x) = 4\pi^{2} \frac{I_{0} +mx^2}{mgx}.}\)

\(\displaystyle{ [T^{2}(x)]' = 4\pi^{2}\frac{2mx(mgx) - (I_{0} +mx^2)mg}{(mgx)^{2}}.}\)

\(\displaystyle{ ([T^{2}(x)]' =0 )\leftrightarrow ( m^{2}gx^{2} - I_{0}mg = 0)}\)

\(\displaystyle{ x* = \sqrt{\frac{I_{0}}{m}}}\) (1)

Dla \(\displaystyle{ 0< x < x*, \ \ [T^{2}]'< 0,}\)

Dla \(\displaystyle{ x > x*, \ \ [T^{2}]' > 0.}\)

W punkcie \(\displaystyle{ x*}\) występuje minimum lokalne właściwe funkcji \(\displaystyle{ T^{2}.}\)


Uwzględniamy w (1) moment bezwładności pręta \(\displaystyle{ I_{0} = \frac{1}{12}ml^{2}.}\)

Szukana odległość:

\(\displaystyle{ x* = \frac{l}{\sqrt{12}}}\) m.

\(\displaystyle{ x* = \frac{1}{\sqrt{12}}}\) m.

Czyli najmniejszy okres nie musi byc gdy os obrotu jest na koncu pręta? Mi w zadaniu wyszło ze na \(\displaystyle{ 40cm}\) precie najmniejszy okres jest przy osi około \(\displaystyle{ 12cm}\) od środka masy i zastanawiam sie czy to ma sens istnienia.

Gdy oś przechodzi przez koniec pręta wtedy okres ma lokalne maksimum, poza tym przypadkiem, gdy przechodzi przez środek, bo wtedy jest nieskończony.