Matematyka.pl

Pod jakim kątem trzeba rzucić ciało, aby zasięg rzutu równał się największej wysokości na jaką ciało się wzniesie?



Najpierw układam równania względem osi x i y:

\(\displaystyle{ \frac{ V_{0x} }{ V_{0} } = cos \alpha}\)
czyli \(\displaystyle{ V_{0x} = V_0cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ x(t)= V_0cos \alpha t}\)

\(\displaystyle{ \frac{ V_{0y} }{ V_{0} } = sin \alpha}\)
czyli \(\displaystyle{ V_{0y} = V_0sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ y(t)= V_0sin \alpha t - \frac{gt^2}{2}}\)

Mam ułożone równania ruchu, ale szukam kąta pod jakim ciało ma zostać wyrzucone aby zasięg rzutu \(\displaystyle{ Z}\) równał się największej wysokości na jaką ciało się wzniesie \(\displaystyle{ H_{max}}\).

Zastanawiam się jak obliczyć zasięg rzutu..
i wpadam na pomysł, zasięg rzutu jest maksymalną odległością jaką ciało może pokonać wzdłuż osi X.
Ale żeby obliczyć go, najpierw muszę znać czas w którym ciało pokona tę odległość, czyli czas lotu.
Zastanawiam się jak obliczyć czas lotu. Czas lotu ciała będzie to czas, w którym położenie ciała względem osi Y wyniesie 0.

Czyli
\(\displaystyle{ y(t_l)= V_0sin \alpha t_l - \frac{gt_l^2}{2}}\) musi się równać zero.

z powyższego równania wyznaczam \(\displaystyle{ t_l}\), będzie to szukany czas lotu.
\(\displaystyle{ 2V_0sin \alpha t_l - gt_l^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ t_l(2V_0sin \alpha - gt_l) = 0}\)
\(\displaystyle{ t_l=0}\) (jest to czas lotu, kiedy piłka była w stanie spoczynku, nie została jeszcze wyrzucona, wtedy \(\displaystyle{ y(t_l)=0}\)
oraz \(\displaystyle{ 2V_0sin \alpha - gt_l = 0}\)
\(\displaystyle{ gt_l = 2V_0sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ t_l = \frac{2V_0sin \alpha}{g}}\)

Mając czas lotu obliczam drogę jaką pokona ciało wzdłuż osi X względem czasu lotu (czyli zasięg rzutu):
\(\displaystyle{ x(t_l)=V_0cos \alpha * \frac{2V_0sin \alpha}{g}}\)
\(\displaystyle{ x(t_l)= \frac{V_0^2sin 2\alpha}{g}}\)

Ciało osiągnie maksymalną wysokość \(\displaystyle{ H_{max}}\) wtedy, gdy prędkość ciała wzdłuż osi Y będzie równa zero. Obliczam więc prędkość ciała wzdłuż osi Y.

\(\displaystyle{ V_y(t)= \frac{dy}{dt} = \frac{d(V_0sin \alpha t - \frac{gt^2}{2}) }{dt}=
V_0sin \alpha - \frac{2tg}{2}}\)

to ma się równać zero..
\(\displaystyle{ V_0sin \alpha - \frac{2tg}{2}=0}\)
Z powyższego równania wyznaczam czas, w którym ciało osiągnie wysokość maksymalną, czyli czas wznoszenia ciała \(\displaystyle{ t_w}\). Zamiast \(\displaystyle{ t}\) podstawiam \(\displaystyle{ t_w}\).

\(\displaystyle{ t_w= \frac{V_0sin \alpha }{g}}\)

i teraz.. liczę pokonaną drogę ciała wzdłuż osi Y w czasie \(\displaystyle{ t_w}\).

\(\displaystyle{ y(t_w)=V_0sin \alpha * \frac{V_0sin \alpha }{g} - \frac{g * (\frac{V_0sin \alpha }{g})^2 }{2}}\)
i jeżeli nie pomyliłem się w rachunkach to:
\(\displaystyle{ y(t_w)= \frac{V_0^2sin^2 \alpha }{2g}}\)

no i w końcu szukam kąta alfa, dla którego będzie spełniony warunek:

\(\displaystyle{ \frac{V_0^2sin 2\alpha}{g} = \frac{V_0^2sin^2 \alpha }{2g}}\)

I teraz za Chiny nie mogę wyznaczyć z tego równania kąta alfa
Mógłby ktoś pomóc?

Wzory na zasięg i wysokość wzniesienia się 'pocisku' są wyprowadzone i znane. Nie ma więc potrzeby by je tu wyprowadzać.
Zatem: \(\displaystyle{ h_m_a_x= \frac{v^2 \cdot sin^2 \alpha}{2g}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{v^2 \cdot sin2 \alpha }{g}}\)
przyrównujemy wg życzenia w zadaniu: \(\displaystyle{ h_m_a_x=z}\)
i dalej: \(\displaystyle{ \frac{v^2 \cdot sin^2 \alpha}{2g}=\frac{v^2 \cdot sin2 \alpha }{g}}\)
Widać możliwości uproszczenia z których trzeba skorzystać , zauważając, że : \(\displaystyle{ sin2 \alpha =2sin \alpha \cdot cos \alpha}\) i to, że \(\displaystyle{ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } =tg \alpha}\)

Ok, czyli:
\(\displaystyle{ 2V_0^22sin \alpha cos \alpha = V_0^2sin^2 \alpha}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{sin^2 \alpha }{4sin \alpha }}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{sin^2 \alpha }{4cos \alpha }}\)

i dalej nie wiem co z tym zrobić

Proszę podzielić obie strony równości
\(\displaystyle{ 2V_0^22sin \alpha cos \alpha = V_0^2sin^2 \alpha}\)
przez \(\displaystyle{ v^2 \cdot sin \alpha}\)
a później zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{sin \alpha }{cos \alpha }=tg \alpha =4}\)

Ok, mam
podzieliłem obie strony przez \(\displaystyle{ V_0^2sin^2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{2V_0^22sin \alpha cos \alpha }{V_0^2sin^2 \alpha } = \frac{V_0^2sin^2 \alpha }{V_0^2sin^2 \alpha }}\)
i po skróceniu
\(\displaystyle{ \frac{4cos \alpha }{sin \alpha } = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{cos \alpha }{sin \alpha } = \frac{1}{4}}\)
teraz podniosłem obie strony do potęgi -1 i w końcu
\(\displaystyle{ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } = 4}\)
\(\displaystyle{ tg \alpha = 4}\)
i jest to w przybliżeniu \(\displaystyle{ 76^o}\)

Dzięki za pomoc