Równia pochyła o wysokości \(\displaystyle{ h}\) znajduje się w nieruchomej windzie. Na jej wierzchołku leży ciało, które zaczyna się zsuwać bez tarcia. Po upływie pewnego czasu \(\displaystyle{ t_1}\), gdy ciało nie osiągnęło jeszcze końca równi, winda zaczęła spadać swobodnie z przyspieszeniem \(\displaystyle{ g}\). Czas zsunięcia się ciała z równi o kącie nachylenia \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi \(\displaystyle{ t}\). Obliczyć \(\displaystyle{ t_1}\).
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Równia pochyła
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równia pochyła
Przyjmujemy układ odniesienia związany z obserwatorem w windzie.
Rozpatrujemy dwa zdarzenia: "winda nieruchoma", "winda zaczyna spadać swobodnie z przyśpieszeniem \(\displaystyle{ g.}\)
Jeśli winda jest nieruchoma, to ciało znajdujące się na równi zsuwa się ruchem jednostajnie przyśpieszonym.
Droga przebyta w ciągu czasu \(\displaystyle{ t_{1} }\) wynosi \(\displaystyle{ s_{1} = \frac{1}{2}at_{1}^2, }\) zaś jego prędkość \(\displaystyle{ v_{1} = at_{1}.}\)
Gdy winda zaczyna spadać swobodnie z przyśpieszeniem \(\displaystyle{ g, }\) to dla obserwatora w windzie ruch ciała, gdy nie osiągnęło jeszcze końca równi jest ruchem jednostajnym ze stałą prędkością \(\displaystyle{ v_{1} }\) względem równi.
Droga przebyta przez ciało wynosi \(\displaystyle{ s_{2} = v_{1}\cdot t_{2} }\)
Z treści zadania:
-czas: \(\displaystyle{ t_{2} = t - t_{1} }\)
-droga przebyta: \(\displaystyle{ s = s_{1} + s_{2} = \frac{h}{\sin(\alpha)}}\)
-składowa przyśpieszenia wzdłuż równi: \(\displaystyle{ a = g\sin(\alpha) }\)
Musimy te wzory jakoś ze sobą powiązać, aby otrzymać równanie na nieznaną wartość czasu \(\displaystyle{ t_{1}.}\)
Kluczem do tego będzie długość drogi \(\displaystyle{ s = s_{1} + s_{2}, }\) którą przebyło ciało.
\(\displaystyle{ s = \frac{h}{\sin(\alpha)}, \ \ s_{1} = \frac{1}{2} at^2_{1} = \frac{1}{2}g\sin(\alpha)t_{1}^2, \ \ s_{2} = v_{1}t_{2} = v_{1}(t-t_{1})= at_{1}(t-t_{1})= g\sin(\alpha) t_{1} (t-t_{1}). }\)
Mamy
\(\displaystyle{ \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2_{1} + g\sin(\alpha) t_{1}(t-t_{1}) }\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{1}{2}g\sin(\alpha)t_{1}^2 + g\sin(\alpha) tt_{1}- g\sin(\alpha)t^2_{1} }\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{\sin(\alpha)} = -\frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2_{1} + g\sin(\alpha)t t_{1} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2_{1} - g\sin(\alpha)tt_{1} + \frac{h}{\sin(\alpha)} = 0 \mid \cdot \frac{2}{\sin(\alpha)} }\)
\(\displaystyle{ gt^2_{1} - 2gtt_{1} + \frac{2h}{\sin^2(\alpha)} = 0 }\)
Rozwiązujemy to równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ \Delta = 4gt^2 -4g\cdot \frac{2h}{\sin^2(\alpha)} = 4g\left(t^2 - \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}\right) }\)
\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{2gt - 2g\sqrt{\left(t^2 - \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}\right)}}{2g} = t - \sqrt{ \left(t^2- \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}\right)} }\)
lub
\(\displaystyle{ t_{1} = t + \sqrt{ \left(t^2- \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}\right)} }\)
Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ t_{1} < t. }\)
Przyjmujemy więc
\(\displaystyle{ t_{1} = t - \sqrt{\left (t^2- \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)} \right)} }\)
dla
\(\displaystyle{ t^2 - \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)} \geq 0, \ \ t \geq \sqrt{\frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}}.}\)
Rozpatrujemy dwa zdarzenia: "winda nieruchoma", "winda zaczyna spadać swobodnie z przyśpieszeniem \(\displaystyle{ g.}\)
Jeśli winda jest nieruchoma, to ciało znajdujące się na równi zsuwa się ruchem jednostajnie przyśpieszonym.
Droga przebyta w ciągu czasu \(\displaystyle{ t_{1} }\) wynosi \(\displaystyle{ s_{1} = \frac{1}{2}at_{1}^2, }\) zaś jego prędkość \(\displaystyle{ v_{1} = at_{1}.}\)
Gdy winda zaczyna spadać swobodnie z przyśpieszeniem \(\displaystyle{ g, }\) to dla obserwatora w windzie ruch ciała, gdy nie osiągnęło jeszcze końca równi jest ruchem jednostajnym ze stałą prędkością \(\displaystyle{ v_{1} }\) względem równi.
Droga przebyta przez ciało wynosi \(\displaystyle{ s_{2} = v_{1}\cdot t_{2} }\)
Z treści zadania:
-czas: \(\displaystyle{ t_{2} = t - t_{1} }\)
-droga przebyta: \(\displaystyle{ s = s_{1} + s_{2} = \frac{h}{\sin(\alpha)}}\)
-składowa przyśpieszenia wzdłuż równi: \(\displaystyle{ a = g\sin(\alpha) }\)
Musimy te wzory jakoś ze sobą powiązać, aby otrzymać równanie na nieznaną wartość czasu \(\displaystyle{ t_{1}.}\)
Kluczem do tego będzie długość drogi \(\displaystyle{ s = s_{1} + s_{2}, }\) którą przebyło ciało.
\(\displaystyle{ s = \frac{h}{\sin(\alpha)}, \ \ s_{1} = \frac{1}{2} at^2_{1} = \frac{1}{2}g\sin(\alpha)t_{1}^2, \ \ s_{2} = v_{1}t_{2} = v_{1}(t-t_{1})= at_{1}(t-t_{1})= g\sin(\alpha) t_{1} (t-t_{1}). }\)
Mamy
\(\displaystyle{ \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2_{1} + g\sin(\alpha) t_{1}(t-t_{1}) }\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{1}{2}g\sin(\alpha)t_{1}^2 + g\sin(\alpha) tt_{1}- g\sin(\alpha)t^2_{1} }\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{\sin(\alpha)} = -\frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2_{1} + g\sin(\alpha)t t_{1} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2_{1} - g\sin(\alpha)tt_{1} + \frac{h}{\sin(\alpha)} = 0 \mid \cdot \frac{2}{\sin(\alpha)} }\)
\(\displaystyle{ gt^2_{1} - 2gtt_{1} + \frac{2h}{\sin^2(\alpha)} = 0 }\)
Rozwiązujemy to równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ \Delta = 4gt^2 -4g\cdot \frac{2h}{\sin^2(\alpha)} = 4g\left(t^2 - \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}\right) }\)
\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{2gt - 2g\sqrt{\left(t^2 - \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}\right)}}{2g} = t - \sqrt{ \left(t^2- \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}\right)} }\)
lub
\(\displaystyle{ t_{1} = t + \sqrt{ \left(t^2- \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}\right)} }\)
Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ t_{1} < t. }\)
Przyjmujemy więc
\(\displaystyle{ t_{1} = t - \sqrt{\left (t^2- \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)} \right)} }\)
dla
\(\displaystyle{ t^2 - \frac{2h}{g\sin^2(\alpha)} \geq 0, \ \ t \geq \sqrt{\frac{2h}{g\sin^2(\alpha)}}.}\)