Matematyka.pl

W prawoskrętnym, prostokątnym układzie współrzędnych dane są punkty \(\displaystyle{ A(0,0)}\), \(\displaystyle{ B(3,0)}\), \(\displaystyle{ C(3,3)}\).
Znaleźć pracę siły \(\displaystyle{ F=i(x+4\cdot y) + j(x\cdot y)}\) (F, i, j są wektorami, ale nie mogłam znaleźć oznaczenia w latexie) przy przemieszczeniu punktu o masie \(\displaystyle{ m}\) z punktu \(\displaystyle{ A}\) do punktu \(\displaystyle{ C}\) – najpierw wzdłuż odcinka \(\displaystyle{ AB}\) (osi \(\displaystyle{ x}\)), a następnie odcinka \(\displaystyle{ BC}\) (osi \(\displaystyle{ y}\)).
Zadanie trzeba rozwiązać przez całkę, robię na podstawie zad z zajęć, ale tam były dwa punkty, więc nie wiem czy dobrze wszystko zrobiłam ... e=557D300F

wektor- vec{F}
wersor- hat{i}
Ja nic bym nie parametryzował. Liczę to wprost
\(\displaystyle{ W=\int \vec{F}d\vec{r}}\)
Gdzie dr to infitezymalne przesunięcie. W kartezjańskim układzie współrzędnych mamy
\(\displaystyle{ W=\int (F_x\hat{i}+F_y\hat{j})(dx\hat{i}+dy\hat{j})}\)
Wymnażamy
\(\displaystyle{ W=\int F_x dx+\int F_y dy}\)
Pierwsza całka
\(\displaystyle{ W_1=\int_0^1 (x+4 \cdot 0) dx=\frac{1}{2}}\)
Druga całka. Zauważy, że odcinek BC można przedstawić jako
\(\displaystyle{ y=-x+1}\)
Zatem
\(\displaystyle{ dy=-dx}\)
Dzięki temu wyrażam drugą całkę wyłącznie przez x i dx. Zauważmy, że granice zmieniają się od 1 do 0.
\(\displaystyle{ W_2=-\int_1^0 x(1-x)dx=-(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})|_1^0=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ W=W_1+W_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}\)

Ty masz błąd przy podstawieniu
\(\displaystyle{ y=t^2}\)
Wzór na y na odcinku BC wynosi y=1-x, podstawiając x=t masz y=1-t. Otrzymujesz taką samą całkę co ja powyżej.

Profesor coś mówił, że jak po osiach się przesuwamy to nie trzeba dawać parametrów, ale w sumie nie wiedziałam właśnie jak to zrobić, bo nic więcej nie powiedział na ten temat. Dziękuję bardzo za pomoc!!

sailormoon88, czy mogę Cię prosić o wytłumaczenie dlaczego odcinek BC tak zapisałeś, oraz czemu takie granice całkowania. Z góry wielkie dzięki