Matematyka.pl

Kulkę o masie \(\displaystyle{ m}\) zawieszono na nici uwiązanej do ciała \(\displaystyle{ A}\) o masie \(\displaystyle{ m}\). Następnie kulkę popchnięto tak, że zaczęła ona krążyć po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R}\) w płaszczyźnie poziomej. Jaki jest współczynnik tarcia \(\displaystyle{ \mu}\), jeżeli czas obiegu, przy którym ciało \(\displaystyle{ A}\) zaczyna się przesuwać wynosi \(\displaystyle{ T}\)?

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Jeżeli Pan oczekuje na pomoc, to problem musi być jednoznacznie opisany. Dobrze by było, to zobrazować rysunkiem.

Chociaż ciężko sobie wyobrazić taką konstrukcję w realnym świecie, kulka jest przywiązana na nici do pewnego ciała, które znajduje się w spoczynku, ale z powodu kręcenia się kulki nić wywiera siłę na to ciało, którą równoważy tarcie statyczne.

Niech \(\displaystyle{ l}\) będzie długością nici, a \(\displaystyle{ \alpha}\) kątem odchylenia nici od pionu. Obliczając siłę dośrodkową na podstawie szybkości

\(\displaystyle{ v=\frac{2\pi l \sin\alpha}{T}}\),

ponieważ siła dośrodkowa jest równa składowej poziomej naprężenia nici, dostajemy po przekształceniach wzór

\(\displaystyle{ 4\pi^2l\cos\alpha=gT^2}\).

Na ciało \(\displaystyle{ A}\) działa siła skierowana pionowo w dół o wartości \(\displaystyle{ mg(1+\cos\alpha)}\), zaś siła tarcia to \(\displaystyle{ mg\sin\alpha}\). Współczynnik tarcia wynosi więc \(\displaystyle{ \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}}\).

Widać stąd, że w zadaniu podano za mało danych. Potrzebna jest znajomość np. długości nici. Jest to swoją drogą zgodne z intuicją, gdyż wydłużenie nici przy zachowaniu okresu obrotu zmniejsza kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).

Układ złożony ciał.
Ruch kulki o masie \(\displaystyle{ m}\) ograniczają więzy- linka i podpora kierująca w punkcie B.
Ruch ciała \(\displaystyle{ A }\) o masie \(\displaystyle{ m}\) postępowy, z oporami tarcia o chropowatą powierzchnie o nieznanym współczynniku tarcia \(\displaystyle{ \mu}\)

Dodano po 1 godzinie 49 minutach :
Układ złożony ciał.
Ruch kulki o masie \(\displaystyle{ m}\) ograniczają więzy- linka i podpora kierująca w punkcie B.
{Reakcję i tarcie w podporze B - pomijamy!}
Ruch ciała\(\displaystyle{ A }\)o masie \(\displaystyle{ m}\) postępowy, z oporami tarcia o chropowatą powierzchnie o nieznanym współczynniku tarcia \(\displaystyle{ μ}\)
..............................
1. Rozdzielamy ciała -przecinając linkę-patrz rysunek.
2. Rozpatrujemy siły działające na ciało A
2.1. G=mg=\(\displaystyle{ N}\) (1)- suma sił na oś pionową,, (1)
2.2. Suma sił na oś poziomą daje zależność
\(\displaystyle{ S=T=μ⋅N=}\)- siły się równoważą- ciało w spoczynku
Warunek ruchu ciała \(\displaystyle{ S>μ⋅N}\), (2)
\(\displaystyle{ S}\) - reakcja w lince, \(\displaystyle{ T}\) siła tarcia \(\displaystyle{ , μ}\) współczynnik tarcia ślizgowego,\(\displaystyle{ N}\) - reakcja normalna podłoża.
3. Z nierówności (2) określimy współczynnik tarcia
\(\displaystyle{ \mu< \frac{S}{N} }\)(3)
{Pozostaje do określenia napięcie -reakcja \(\displaystyle{ S}\) w lince}
3..Obliczenie napięcia\(\displaystyle{ N}\) w lince.
Rozpatrujemy siły działające na kulkę w w ruchu obrotowym. Kulka porusza się z prędkością \(\displaystyle{ v}\) po torze kołowym
3.2.Prędkość obwodowa kulki
\(\displaystyle{ v= \frac{2 \pi \cdot R}{T} }\), (4)
3.3. Siła dosrodkowa
\(\displaystyle{ F _{d} = \frac{v ^{2} }{R} = \frac{4 \pi ^{2} \cdot m \cdot R}{T ^{2} } }\), (5)
3.4. Siła \(\displaystyle{ S}\) napięcia w lince- tw.Pitagorasa .Patrz rysunek., (6)
\(\displaystyle{ S ^{2}=F ^{2} _{d}+(mg) ^{2} }\), (6), po podstawieniu i przekształceniach otrzymujemy

\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{m ^{2}(16 \pi ^{4} \cdot R ^{2} +T ^{4} \cdot g ^{2}) }{T ^{4} } }\cdot mg }\), (7)
4. Obliczenie współczynnika tarcia
\(\displaystyle{ \mu< \frac{S}{N} }\)
Po podstawieniu obl.wielkosci i przekształceniach mamy postać
\(\displaystyle{ \mu< \frac{ \sqrt{16 \pi ^{4} \cdot R ^{2} +T ^{4} \cdot g ^{2}} }{T ^{4} \cdot g } }\), (8)
Uwaga: zaniedbano tarcie i reakcję w podporze B.
.......................................................
Przekształcenia żmudne. Proszę je sprawdzić- . Widać z wypr.wzoru (8) , że nie musi być podana długości linki, ani kąt wychylenia!

Dodano po 1 godzinie 8 minutach 13 sekundach:
Korekta -w p.3, napięcie w lince powinno być oznaczone symbolem \(\displaystyle{ S}\).Wpisano omyłkowo \(\displaystyle{ N}\),

siwymech pisze: ↑20 lut 2024, o 15:21 Przekształcenia żmudne. Proszę je sprawdzić- . Widać z wypr.wzoru (8) , że nie musi być podana długości linki, ani kąt wychylenia!

Wygląda na pierwszy rzut oka poprawnie. Ja przyjąłem inną interpretację zadania tzn. bez podpory. Wtedy linka ciągnie bezpośrednio klocek (pod pewnym kątem). Dlatego zresztą pisałem, że ciężko sobie to wyobrazić w realnym świecie.

A w {8} zgadzają się jednostki?

Korekta wzoru (8) pominięto w mianowniku drugą potęgę \(\displaystyle{ "g"}\) -przyśpieszenia ziemskiego.
Ostateczna postać:
\(\displaystyle{ \mu< \sqrt{ \frac{16 \pi ^{4}R ^{2}+T ^{4} g ^{2} }{g ^{2} T ^{4} } } = \sqrt{1+ \frac{16 \pi ^{4} R ^{2} }{g ^{2}T ^{4} } } }\)

Ok, racja, nie wrzuciłem tutaj rysunku bo wstawianie rysunków tutaj jest trochę kłopotliwe, ale potwierdzam rysunek, który wstawił Siwymech jest właściwy- jest tam podpora. I rozwiązanie, które przedstawił Siwymech też jest prawidłowe, wynik się zgadza. Dziękuję bardzo. Tylko w odpowiedziach jest, że ten współczynnik tarcia jest równy, a nie mniejszy niż ta wielkość, nie jestem pewny do końca skąd to wynika. Autorzy zadania chyba założyli, że \(\displaystyle{ S=\mu N}\), o to chodzi? Tylko czy przy takiej wartości nastąpi ruch ciała?

max123321 pisze: ↑27 lut 2024, o 16:00 Ok, racja, nie wrzuciłem tutaj rysunku bo wstawianie rysunków tutaj jest trochę kłopotliwe,

Załączenie załącznika jest kłopotliwe?!

JK