Kulkę o masie m
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Kulkę o masie m
Kulkę o masie \(\displaystyle{ m}\) zawieszono na nici uwiązanej do ciała \(\displaystyle{ A}\) o masie \(\displaystyle{ m}\). Następnie kulkę popchnięto tak, że zaczęła ona krążyć po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R}\) w płaszczyźnie poziomej. Jaki jest współczynnik tarcia \(\displaystyle{ \mu}\), jeżeli czas obiegu, przy którym ciało \(\displaystyle{ A}\) zaczyna się przesuwać wynosi \(\displaystyle{ T}\)?
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Kulkę o masie m
Chociaż ciężko sobie wyobrazić taką konstrukcję w realnym świecie, kulka jest przywiązana na nici do pewnego ciała, które znajduje się w spoczynku, ale z powodu kręcenia się kulki nić wywiera siłę na to ciało, którą równoważy tarcie statyczne.
Niech \(\displaystyle{ l}\) będzie długością nici, a \(\displaystyle{ \alpha}\) kątem odchylenia nici od pionu. Obliczając siłę dośrodkową na podstawie szybkości
\(\displaystyle{ v=\frac{2\pi l \sin\alpha}{T}}\),
ponieważ siła dośrodkowa jest równa składowej poziomej naprężenia nici, dostajemy po przekształceniach wzór
\(\displaystyle{ 4\pi^2l\cos\alpha=gT^2}\).
Na ciało \(\displaystyle{ A}\) działa siła skierowana pionowo w dół o wartości \(\displaystyle{ mg(1+\cos\alpha)}\), zaś siła tarcia to \(\displaystyle{ mg\sin\alpha}\). Współczynnik tarcia wynosi więc \(\displaystyle{ \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}}\).
Widać stąd, że w zadaniu podano za mało danych. Potrzebna jest znajomość np. długości nici. Jest to swoją drogą zgodne z intuicją, gdyż wydłużenie nici przy zachowaniu okresu obrotu zmniejsza kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
Niech \(\displaystyle{ l}\) będzie długością nici, a \(\displaystyle{ \alpha}\) kątem odchylenia nici od pionu. Obliczając siłę dośrodkową na podstawie szybkości
\(\displaystyle{ v=\frac{2\pi l \sin\alpha}{T}}\),
ponieważ siła dośrodkowa jest równa składowej poziomej naprężenia nici, dostajemy po przekształceniach wzór
\(\displaystyle{ 4\pi^2l\cos\alpha=gT^2}\).
Na ciało \(\displaystyle{ A}\) działa siła skierowana pionowo w dół o wartości \(\displaystyle{ mg(1+\cos\alpha)}\), zaś siła tarcia to \(\displaystyle{ mg\sin\alpha}\). Współczynnik tarcia wynosi więc \(\displaystyle{ \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}}\).
Widać stąd, że w zadaniu podano za mało danych. Potrzebna jest znajomość np. długości nici. Jest to swoją drogą zgodne z intuicją, gdyż wydłużenie nici przy zachowaniu okresu obrotu zmniejsza kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
- siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2430
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 610 razy
Re: Kulkę o masie m
Układ złożony ciał.
Ruch kulki o masie \(\displaystyle{ m}\) ograniczają więzy- linka i podpora kierująca w punkcie B.
Ruch ciała \(\displaystyle{ A }\) o masie \(\displaystyle{ m}\) postępowy, z oporami tarcia o chropowatą powierzchnie o nieznanym współczynniku tarcia \(\displaystyle{ \mu}\)
Dodano po 1 godzinie 49 minutach :
Układ złożony ciał.
Ruch kulki o masie \(\displaystyle{ m}\) ograniczają więzy- linka i podpora kierująca w punkcie B.
{Reakcję i tarcie w podporze B - pomijamy!}
Ruch ciała\(\displaystyle{ A }\)o masie \(\displaystyle{ m}\) postępowy, z oporami tarcia o chropowatą powierzchnie o nieznanym współczynniku tarcia \(\displaystyle{ μ}\)
..............................
1. Rozdzielamy ciała -przecinając linkę-patrz rysunek.
2. Rozpatrujemy siły działające na ciało A
2.1. G=mg=\(\displaystyle{ N}\) (1)- suma sił na oś pionową,, (1)
2.2. Suma sił na oś poziomą daje zależność
\(\displaystyle{ S=T=μ⋅N=}\)- siły się równoważą- ciało w spoczynku
Warunek ruchu ciała \(\displaystyle{ S>μ⋅N}\), (2)
\(\displaystyle{ S}\) - reakcja w lince, \(\displaystyle{ T}\) siła tarcia \(\displaystyle{ , μ}\) współczynnik tarcia ślizgowego,\(\displaystyle{ N}\) - reakcja normalna podłoża.
3. Z nierówności (2) określimy współczynnik tarcia
\(\displaystyle{ \mu< \frac{S}{N} }\)(3)
{Pozostaje do określenia napięcie -reakcja \(\displaystyle{ S}\) w lince}
3..Obliczenie napięcia\(\displaystyle{ N}\) w lince.
Rozpatrujemy siły działające na kulkę w w ruchu obrotowym. Kulka porusza się z prędkością \(\displaystyle{ v}\) po torze kołowym
3.2.Prędkość obwodowa kulki
\(\displaystyle{ v= \frac{2 \pi \cdot R}{T} }\), (4)
3.3. Siła dosrodkowa
\(\displaystyle{ F _{d} = \frac{v ^{2} }{R} = \frac{4 \pi ^{2} \cdot m \cdot R}{T ^{2} } }\), (5)
3.4. Siła \(\displaystyle{ S}\) napięcia w lince- tw.Pitagorasa .Patrz rysunek., (6)
\(\displaystyle{ S ^{2}=F ^{2} _{d}+(mg) ^{2} }\), (6), po podstawieniu i przekształceniach otrzymujemy
\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{m ^{2}(16 \pi ^{4} \cdot R ^{2} +T ^{4} \cdot g ^{2}) }{T ^{4} } }\cdot mg }\), (7)
4. Obliczenie współczynnika tarcia
\(\displaystyle{ \mu< \frac{S}{N} }\)
Po podstawieniu obl.wielkosci i przekształceniach mamy postać
\(\displaystyle{ \mu< \frac{ \sqrt{16 \pi ^{4} \cdot R ^{2} +T ^{4} \cdot g ^{2}} }{T ^{4} \cdot g } }\), (8)
Uwaga: zaniedbano tarcie i reakcję w podporze B.
.......................................................
Przekształcenia żmudne. Proszę je sprawdzić- . Widać z wypr.wzoru (8) , że nie musi być podana długości linki, ani kąt wychylenia!
Dodano po 1 godzinie 8 minutach 13 sekundach:
Korekta -w p.3, napięcie w lince powinno być oznaczone symbolem \(\displaystyle{ S}\).Wpisano omyłkowo \(\displaystyle{ N}\),
Ruch kulki o masie \(\displaystyle{ m}\) ograniczają więzy- linka i podpora kierująca w punkcie B.
Ruch ciała \(\displaystyle{ A }\) o masie \(\displaystyle{ m}\) postępowy, z oporami tarcia o chropowatą powierzchnie o nieznanym współczynniku tarcia \(\displaystyle{ \mu}\)
Dodano po 1 godzinie 49 minutach :
Układ złożony ciał.
Ruch kulki o masie \(\displaystyle{ m}\) ograniczają więzy- linka i podpora kierująca w punkcie B.
{Reakcję i tarcie w podporze B - pomijamy!}
Ruch ciała\(\displaystyle{ A }\)o masie \(\displaystyle{ m}\) postępowy, z oporami tarcia o chropowatą powierzchnie o nieznanym współczynniku tarcia \(\displaystyle{ μ}\)
..............................
1. Rozdzielamy ciała -przecinając linkę-patrz rysunek.
2. Rozpatrujemy siły działające na ciało A
2.1. G=mg=\(\displaystyle{ N}\) (1)- suma sił na oś pionową,, (1)
2.2. Suma sił na oś poziomą daje zależność
\(\displaystyle{ S=T=μ⋅N=}\)- siły się równoważą- ciało w spoczynku
Warunek ruchu ciała \(\displaystyle{ S>μ⋅N}\), (2)
\(\displaystyle{ S}\) - reakcja w lince, \(\displaystyle{ T}\) siła tarcia \(\displaystyle{ , μ}\) współczynnik tarcia ślizgowego,\(\displaystyle{ N}\) - reakcja normalna podłoża.
3. Z nierówności (2) określimy współczynnik tarcia
\(\displaystyle{ \mu< \frac{S}{N} }\)(3)
{Pozostaje do określenia napięcie -reakcja \(\displaystyle{ S}\) w lince}
3..Obliczenie napięcia\(\displaystyle{ N}\) w lince.
Rozpatrujemy siły działające na kulkę w w ruchu obrotowym. Kulka porusza się z prędkością \(\displaystyle{ v}\) po torze kołowym
3.2.Prędkość obwodowa kulki
\(\displaystyle{ v= \frac{2 \pi \cdot R}{T} }\), (4)
3.3. Siła dosrodkowa
\(\displaystyle{ F _{d} = \frac{v ^{2} }{R} = \frac{4 \pi ^{2} \cdot m \cdot R}{T ^{2} } }\), (5)
3.4. Siła \(\displaystyle{ S}\) napięcia w lince- tw.Pitagorasa .Patrz rysunek., (6)
\(\displaystyle{ S ^{2}=F ^{2} _{d}+(mg) ^{2} }\), (6), po podstawieniu i przekształceniach otrzymujemy
\(\displaystyle{ S= \sqrt{ \frac{m ^{2}(16 \pi ^{4} \cdot R ^{2} +T ^{4} \cdot g ^{2}) }{T ^{4} } }\cdot mg }\), (7)
4. Obliczenie współczynnika tarcia
\(\displaystyle{ \mu< \frac{S}{N} }\)
Po podstawieniu obl.wielkosci i przekształceniach mamy postać
\(\displaystyle{ \mu< \frac{ \sqrt{16 \pi ^{4} \cdot R ^{2} +T ^{4} \cdot g ^{2}} }{T ^{4} \cdot g } }\), (8)
Uwaga: zaniedbano tarcie i reakcję w podporze B.
.......................................................
Przekształcenia żmudne. Proszę je sprawdzić- . Widać z wypr.wzoru (8) , że nie musi być podana długości linki, ani kąt wychylenia!
Dodano po 1 godzinie 8 minutach 13 sekundach:
Korekta -w p.3, napięcie w lince powinno być oznaczone symbolem \(\displaystyle{ S}\).Wpisano omyłkowo \(\displaystyle{ N}\),
- Załączniki
-
- ruch obrot i postepowy kulka ciało z tar.jpg (40.19 KiB) Przejrzano 494 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Kulkę o masie m
Wygląda na pierwszy rzut oka poprawnie. Ja przyjąłem inną interpretację zadania tzn. bez podpory. Wtedy linka ciągnie bezpośrednio klocek (pod pewnym kątem). Dlatego zresztą pisałem, że ciężko sobie to wyobrazić w realnym świecie.
- siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2430
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 610 razy
Re: Kulkę o masie m
Korekta wzoru (8) pominięto w mianowniku drugą potęgę \(\displaystyle{ "g"}\) -przyśpieszenia ziemskiego.
Ostateczna postać:
\(\displaystyle{ \mu< \sqrt{ \frac{16 \pi ^{4}R ^{2}+T ^{4} g ^{2} }{g ^{2} T ^{4} } } = \sqrt{1+ \frac{16 \pi ^{4} R ^{2} }{g ^{2}T ^{4} } } }\)
Ostateczna postać:
\(\displaystyle{ \mu< \sqrt{ \frac{16 \pi ^{4}R ^{2}+T ^{4} g ^{2} }{g ^{2} T ^{4} } } = \sqrt{1+ \frac{16 \pi ^{4} R ^{2} }{g ^{2}T ^{4} } } }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Kulkę o masie m
Ok, racja, nie wrzuciłem tutaj rysunku bo wstawianie rysunków tutaj jest trochę kłopotliwe, ale potwierdzam rysunek, który wstawił Siwymech jest właściwy- jest tam podpora. I rozwiązanie, które przedstawił Siwymech też jest prawidłowe, wynik się zgadza. Dziękuję bardzo. Tylko w odpowiedziach jest, że ten współczynnik tarcia jest równy, a nie mniejszy niż ta wielkość, nie jestem pewny do końca skąd to wynika. Autorzy zadania chyba założyli, że \(\displaystyle{ S=\mu N}\), o to chodzi? Tylko czy przy takiej wartości nastąpi ruch ciała?
-
- Administrator
- Posty: 34298
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy