Matematyka.pl

Pięcioro dzieci bawiło się w parku na karuzeli. Masa karuzeli wynosiła \(\displaystyle{ 140\,kg}\), jej promień był równy \(\displaystyle{ 1,7\,m}\), a średnia masa każdego dziecka to \(\displaystyle{ 45\,kg.}\) Moment bezwładności karuzeli jest taki, jak moment bezwładności krążka względem osi przechodzącej przez środek jego masy, a moment bezwładności dziecka wynosi \(\displaystyle{ mr^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) to odległość dziecka od osi obrotu.
(1) Dzieci rozkręciły karuzelę, biegnąc po jej brzegu wokół krawędzi. Jaką prędkość kątową uzyskała karuzela, jeżeli dzieci biegły z tą samą prędkością \(\displaystyle{ 3,4\, \frac{m}{s}}\). Załóż, że biegły przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Podaj kierunek i zwrot prędkości kątowej karuzeli.

Mam pewien problem z tym zadaniem. Odpowiedź widniejąca z tyłu książki to \(\displaystyle{ \omega_{1}=\frac{v}{R}=2\,\frac{rad}{s}}\), kierunek pionowy, zwrot w górę. Czyli tak, jakby autor założył, że prędkość liniowa karuzeli i dzieci będzie identyczna (nawet co do zwrotu)? Czy zwrot nie powinien być w dół, bo skoro dzieci idą przeciwnie do wsk. zegara, to karuzela powinna się obracać zgodnie ze wsk. zegara, czyli (zgodnie z zasadą śruby prawoskrętnej) zwrot prędkości kątowej powinien być w dół. Wartość natomiast policzyłem z zasady zachowania momentu pędu:

\(\displaystyle{ 0 = \vec{L}_{k+5d}+\vec{L}_{5d}\\
\vec{L}_{k+5d} = - \vec{L}_{5d}\\
L_{k+5d} = L_{5d}\\
(I_k+5I_d)\omega_1 = 5mvR\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{I_k+5I_d}\\
I_k=\frac{1}{2}MR^2\\
I_d=mR^2\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{\frac{1}{2}MR^2+5mR^2}\\
\omega_1 = \frac{5mvR}{R^2(\frac{1}{2}M+5m)}\\
\omega_1 = \frac{5mv}{R(\frac{1}{2}M+5m)}\\
\omega_1 = \frac{5\cdot 45\cdot 3,4}{1,7(\frac{1}{2}\cdot 140+5\cdot 45)}=\frac{765}{501,5} \approx 1,53\, \frac{rad}{s}}\)

Które rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie moje, to proszę kogoś o wytłumaczenie. Z góry dziękuję za pomoc.

WPE pisze: ↑4 maja 2023, o 20:23 Mam pewien problem z tym zadaniem. Odpowiedź widniejąca z tyłu książki to
kierunek pionowy, zwrot w górę. Czyli tak, jakby autor założył, że prędkość liniowa karuzeli i dzieci będzie identyczna (nawet co do zwrotu)? Czy zwrot nie powinien być w dół, bo skoro dzieci idą przeciwnie do wsk. zegara, to karuzela powinna się obracać zgodnie ze wsk. zegara, czyli (zgodnie z zasadą śruby prawoskrętnej) zwrot prędkości kątowej powinien być w dół.

Masz rację

Dzieci biegną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, karuzela obraca się w kierunku przeciwnym, czyli zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Wartość prędkości liniowej \(\displaystyle{ v }\) dzieci jest równa prędkości liniowej karuzeli.

Wartość prędkości kątowej dzieci jest równa wartości prędkości kątowej karuzeli.

\(\displaystyle{ \omega' = \frac{v}{R}.}\)

Zwroty wektorów prędkości kątowej są przeciwne.

Zwrot prędkości kątowej karuzeli ma kierunek pionowy o zwrocie do dołu - zgodnie z zasadą (regułą) śruby prawoskrętnej.

Bo prędkość kątową wygodnie jest przedstawić w postaci wektora \(\displaystyle{ \vec{\omega} }\) zdefiniowanego następująco:

- długość wektora \(\displaystyle{ \vec{\omega} }\) jest równa wartości prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega;}\)

- kierunek wektora jest prostopadły do płaszczyzny okręgu (w naszym przypadku do okręgu, po obwodzie którego biegną dzieci):

- zwrot wektora \(\displaystyle{ \vec{\omega} }\) jest określony regułą śruby prawoskrętnej.

Śrubę obracamy w kierunku obiegu po okręgu. Śruba przesuwa się w kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{\omega}. }\)

Moment bezwładności układu ciał punktowych :

\(\displaystyle{ I = \sum_{i=1}^{n} m_{i}\cdot R^2_{i} }\)

Moment bezwładności układu "dzieci -karuzela"

\(\displaystyle{ I_{d} = 5m\cdot R^2.}\)

Wartość momentu pędu bryły sztywnej

\(\displaystyle{ L = I\cdot \omega. }\)

Wartość momentu pędu obracającej się karuzeli przed wskoczeniem dzieci

\(\displaystyle{ L_{k} = I_{k}\cdot \omega = \frac{1}{2}MR^2\cdot \frac{v}{R} = \frac{1}{2} M\cdot R \cdot v }\)

Wartość momentu pędu karuzeli z dziećmi

\(\displaystyle{ L_{kd} = \frac{1}{2}M\cdot R^2 \cdot \omega }\)

Wartość momentu pędu dzieci, które zajęły miejsca na karazuli

\(\displaystyle{ L_{d}= I_{d}\cdot \omega = 5m \cdot R^2\cdot \omega. }\)

Z zasady zachowania momentu pędu

\(\displaystyle{ L_{k} = L_{kd} + L_{d} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}M\cdot R\cdot v = \frac{1}{2}M\cdot R^2\cdot \omega + 5\cdot m\cdot R^2\cdot \omega \ \ | \cdot \frac{2}{R} }\)

\(\displaystyle{ M \cdot v = M\cdot R \cdot \omega + 10\cdot m\cdot R \cdot \omega }\)

\(\displaystyle{ M \cdot v = R\cdot \omega \cdot(M+10\cdot m) }\)

\(\displaystyle{ \omega = \frac{M\cdot v }{(M + 10\cdot m)\cdot R} = \frac{M}{M+10\cdot m}\cdot \frac{v}{R} = \frac{M}{M+10\cdot m}\cdot \omega'.}\)