Matematyka.pl

Na desce leży walec o promieniu R z wydrążeniem w kształcie walca o promieniu R/2 stycznym do osi walca. Deskę zaczynamy wolno podnosić za jeden koniec. Znaleźć kąt graniczny nachylenia deski, przy którym walec będzie jeszcze w równowadze. Współczynnik tarcia walca o równię wynosi 0,2.

Rozumiem, że cały problem z wyznaczeniem momentu bezwładności.
\(\displaystyle{ I=\frac{mR^2}{2}-\frac{mR^2}{32}-\frac{mR^2}{64}=\frac{29mR^2}{64}}\)

Ten moment nic nie daje (umożliwia obliczenie prędkości toczenia się itp.),
tu trzeba policzyć środek ciężkości tego walca.

Środek ciężkości to akurat łatwo policzyć, jest oddalony o R/6 od środka walca. Dalej wychodzi mi coś źle, dlatego miałem nadzieję, że ktoś to policzy.

Rysunek przedstawia sytuację graniczną, czyli kąt jest maksymalny.
d - odległość środka ciężkości od środka walca.

Średek ciężkości musi być pionowo nad punktem podparcia (brak momentu siły względem punktu podparcia).
Pełny walec zawsze się toczy - moment siły występuje dla dowolnego kąta większego od zera.


widać, że:
\(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{d}{R}}\)

Ponad to walec zacznie się ślizgać, gdy:
\(\displaystyle{ tg(\alpha) < 0.2}\)
0.2 to współczynnik tarcia statycznego.

Wynikiem jest miniejszy z tych kątów.

Rzeczywiście zgadza się. Tylko skąd wiedziałeś, żeby narysować ten walec akurat tak a nie obrócony o np. 90 stopni?

Warunki równowagi trwałej:
- środek ciężkości musi być jak najniżej (minimum energii potencjalnej)
- moment siły musi być zerowy, co oznacza że śr. ciężk. jest pionowo nad punktem podparcia.

Procedura:
- rysujesz koło,
- prowadzisz prostą pionową przez śr. ciężkości - punkt przecięcia z kołem, to punkt podparcia
- styczna do okręgu w punkcie podparcia, to równia (deska) - masz kąt nachylenia
- teraz zwiększasz ten kąt (albo obracasz ten walec) i dochodzisz do max

Można też utworzyć równanie i szukać ekstremum względem kąta - więcej roboty.