Matematyka.pl

Wstawiam zadanie z II etapu Olimpiady o Diamentowy Indeks AGH, który się już odbył, ale nie było jeszcze III etapu. Jeżeli jest to niezgodne z regulaminem, proszę o usunięcie tematu.

Dysponujemy belką o długości \(\displaystyle{ L=10\:m}\) i masie \(\displaystyle{ M_o=50\:kg}\) , którą wykorzystujemy do budowy katapulty. Belka zostaje unieruchomiona w pozycji poziomej, z poziomą osią obrotu \(\displaystyle{ O}\) zamocowaną w odległości \(\displaystyle{ d=3\:m}\) od jej środka. Na końcu krótszego ramienia belki umieszczona zostaje przeciwwaga o dużej masie \(\displaystyle{ M=200\:kg}\) , zaś na końcu dłuższego ramienia miotany pocisk o masie \(\displaystyle{ m=2\:kg}\) . Po odblokowaniu katapulty belka zaczyna się obracać i krótsze ramie z przeciwwagą porusza się w dół, zaś ramię z pociskiem w górę.

a) Oblicz moment bezwładności beki \(\displaystyle{ I_b}\) względem osi obrotu wiedząc, że moment bezwładności belki o masie \(\displaystyle{ M_o}\) i długości \(\displaystyle{ L}\) względem środka masy wyraża wzór \(\displaystyle{ I_o=\frac{M_o\cdot L^2}{12}}\) .

b) Oblicz zmianę energii potencjalnej po ustawieniu katapulty w pozycji pionowej.

c) Korzystając z zasady zachowania energii, oblicz prędkość wylotową pocisku, jeżeli oderwie się on od belki w momencie kiedy znajdzie się ona w pozycji pionowej.

Moje rozwiązanie:

a) Korzystając z tw. Steinera --> \(\displaystyle{ I_b=I_o+M_o\cdot d^2}\)

Podstawiając:

\(\displaystyle{ I_b=\frac{M_o\cdot L^2}{12}+M_o\cdot d^2}\)

\(\displaystyle{ I_b=\frac{50\cdot100}{12}+50\cdot9}\)
\(\displaystyle{ I_b=866,67\:kgm^2}\)

b) oznaczenia: 1 --> pocisk 2--> belka 3--> przeciwwaga

\(\displaystyle{ \Delta E_{p1}=m\cdot g\cdot\left(\frac{L}{2}+d\right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p1}=156,96\:J}\)

\(\displaystyle{ \Delta E_{p2}=M_o\cdot g\cdot d}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p2}=1471,5\:J}\)

\(\displaystyle{ \Delta E_{p3}=M\cdot g\cdot(-1)\cdot\left(\frac{L}{2}-d\right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p3}=(-3924)\:J}\)

\(\displaystyle{ \Delta E_{pc}=(-2295,4)\:J}\)

Czy mógłby mi to ktoś sprawdzić i pomóc rozwiązać podpunkt c) ?

1. Moment bezwładności pręta nieobciążonego wzgl. osi obrotu – punktu \(\displaystyle{ O}\) :
\(\displaystyle{ J _{o}=J _{B}+M _{o} \cdot d ^{2}}\), (1)
Gdzie moment bezwładności pręta wzgl. osi przech. przez punkt B – środek masy pręta:
\(\displaystyle{ J _{B}= \frac{M _{o} \cdot l ^{2} }{12}}\)
2. Moment bezwładności pręta obciążonego masami \(\displaystyle{ M _{o}, M, m}\) :
\(\displaystyle{ Jo _{ob} =J _{o}+M \cdot [l-(0,5l+d)] ^{2}+m \cdot (0,5l+d) ^{2}}\)
Masy \(\displaystyle{ M, m}\), potraktowano jako masy punktowe i policzono ich momenty z definicji momentu bezwładności:
\(\displaystyle{ J _{M} =M \cdot r ^{2},\ J _{m} =m \cdot r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ r}\) – odległość mas \(\displaystyle{ M,\,m}\) od osi obrotu przechodzącej przez punktu \(\displaystyle{ O}\) .
/Uzasadnienie: nie podano kształtu mas obciążających/
3. Energia potencjalna pręta (praca sił ciężkości) w pozycji pionowej:
\(\displaystyle{ E _{p}=E _{{pM} _{o}}+ E _{pm}-E _{pM} =M \cdot g \cdot d+mg(d+0,5l)-Mg \cdot [l-(0,5l+d)]}\) (3)
4. Energia kinetyczna pręta w ruchu obrotowym:
\(\displaystyle{ E _{ko}=J_{Oob} \cdot \frac{\omega ^{2} }{2}}\) (4)
Gdzie prędkość kątowa:
\(\displaystyle{ \omega= \frac{v _{C'} }{ \frac{l}{2}+d }}\) (5)
/\(\displaystyle{ v=\omega \cdot r}\) - związek między prędkością liniową, a kątową/
5. Prędkość pocisku znajdziemy z przemian energii:

\(\displaystyle{ E _{p}=E _{ko}}\) (6)
\(\displaystyle{ E _{p}=J_{Oob} \cdot \frac{\omega ^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \omega= \sqrt{ \frac{2E _{p} }{J_{Oob}} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{v _{C'} }{0,5l+d}=\sqrt{ \frac{2E _{p} }{J_{Oob}} }}\)

\(\displaystyle{ v _{C'} =8 \sqrt{ \frac{2E _{p} }{J_{Oob}} } \qquad m/s}\)
..............................................................................
Inny wariant. Prędkość pocisku \(\displaystyle{ v _{C'}}\) wyznaczymy z zasady równoważności pracy i energii kinetycznej wiedząc, że \(\displaystyle{ E _{k1o}=0}\).

W a) i b) błędów nie ma.

c) tak jak rozpisał SiwyMech.

Mam pytanie. Dlaczego zmiana energia potencjalnej przeciwwagi jest ujemna?

Zasadna uwaga, bowiem w polu sił ciężkości
energia potencjalna \(\displaystyle{ E_{p} }\)dodatnia przy opadaniu ciała- położenie końcowe poniżej początkowego,
energia potencjalna ujemna przy wznoszeniu się ciała- położenie końcowe powyżej początkowego.