Matematyka.pl

Mam problem z zadaniem

Zad. Z równi pochyłej o wysokości \(\displaystyle{ h}\) stacza się bez tarcia:
a) kula
b) walec
Oblicz wartość prędkości liniowej tej bryły u podstawy równi.

Ostatecznie wyszło mi, że w podpunkcie a \(\displaystyle{ v=0}\) . Oczywiście jest to źle. Proszę o pomoc i z góry dziękuję

to policzysz z zasady zachowania energi
\(\displaystyle{ mgh= \frac{mv^2}{2}+ \frac{I\omega ^2}{2}}\)

kuba746 pisze:to policzysz z zasady zachowania energi
\(\displaystyle{ \frac{mv^2}{2}}\)

A czy za to nie można dać Fs*l ?
l - długośc równi
Fs - siła ściągająca
Bo przecież E=W?

no raczej nie bo mamy tylko wysokość równi
pokaże Ci jak to rozwiązać
\(\displaystyle{ I=bmr^2}\)

\(\displaystyle{ v=\omega r}\)
\(\displaystyle{ mgh= \frac{mv^2}{2}+ \frac{bmr^2 \omega ^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ gh= \frac{v^2+bv^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ v= \sqrt{ \frac{2gh}{1+b} }}\)

Też mi tak wyszło, z tym że jak na początku robiłem właśnie z tą siłą ściągającą tylko jak tak się to zadanie rozwiąże to jest to sprzeczność. To, że nie mamy l to nie znaczy, że jest ono nierozwiązywalne, bo:

\(\displaystyle{ \frac{F_{s}}{Q}= \frac{h}{l} \Rightarrow l= \frac{h}{\sin \alpha}}\)
\(\displaystyle{ mgh = \frac{ w^{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot m r^{2} }{2}+ F_{s}l}\)

Po przekształceniu wychodzi, że \(\displaystyle{ v= 0}\)

a \(\displaystyle{ \alpha}\) też nie masz podane ani masy, chyba że nie podałeś

Masa jest zbędna, bo się potem skróci

\(\displaystyle{ mgh = \frac{ w^{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot m r^{2} }{2}+ F_{s}l \\
mgh= \frac{ w^{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot m r^{2} }{2}+ mg\sin \alpha \cdot \frac{h}{\sin \alpha}\\
gh= \frac{ w^{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot r^{2} }{2}+ gh \\
0=\frac{ w^{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot r^{2} }{2} \\
v=0}\)

Czyli sprzeczność . Pewnie faktycznie nie można w tym przypadku przyjąć, że \(\displaystyle{ E=W}\) i stąd sprzeczność wychodzi

Po pierwsze. Jak bez tarcia, to nie ma ruchu obrotowego. Powinno być "bez poślizgu"
\(\displaystyle{ I= \frac{1}{2} m R^{2}}\) walca
\(\displaystyle{ I= \frac{2}{5} m R ^{2}}\) kuli
Na wysokości \(\displaystyle{ h}\) mamy jakąś energie potencjalną \(\displaystyle{ E}\).
Na dole w obu przypadkach, walca i kuli, mam taką samą energie \(\displaystyle{ E}\).
Lecz jest to suma energii kinetycznej ruchu postępowego i obrotowego.
Im większa obrotowego, tym mniejsza kinetycznego, bo musi być stała.

Dla walca:
\(\displaystyle{ E=mgh= m \frac{V ^{2} }{2} + \frac{I\omega^{2}}{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ E= \frac{1}{2} \left( m V^{2} + \frac{1}{2} m R^{2} \frac{V^{2}}{R^{2}} \right)}\) bo \(\displaystyle{ \omega^{2}= \frac{V^{2}}{R^{2}}}\)
\(\displaystyle{ E= \frac{3}{4} m V _{w} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \omega}\) - prędkość liniowa walca

Analogicznie wykonuje obliczenie dla kuli, za \(\displaystyle{ I}\) wstawiam tylko \(\displaystyle{ I= \frac{2}{5}mR^{2}}\). Energia potencjalna kuli na górze też jest równa \(\displaystyle{ mgh}\).
Wychodzi \(\displaystyle{ E= \frac{9}{10} mV _{k} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ V_k}\) - prędkosci liniowa kuli.
Przyrównujemy te energie (jak na górze te same, to na dole też muszą być te same:>), skracamy masy, wychodzi \(\displaystyle{ \frac{V _{k} }{V _{w} } = \sqrt{ \frac{5}{6}}}\)
Pierwiastek jest mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\), czyli prędkość walca jest większa.
Przepraszam z góry za błędy w obliczeniach, nie skupiłem się na tym w ogóle. Mam nadzieje że dobrze:)

Pierwiastek jest mniejszy od 1, czyli prędkość walca jest większa.
Przepraszam z góry za błędy w obliczeniach, nie skupiłem się na tym w ogóle. Mam nadzieje że dobrze:)

W zasadzie to powinno być właśnie na odwrót:

\(\displaystyle{ \frac{V_k}{V_w}=\sqrt{\frac{6}{5}}}\)

Z resztą można by to wziąć na logikę: sam napisałeś, że im więcej energii idzie na ruch obrotowy tym mniej na ruch postępowy. Moment bezwładności walca jest większy niż kuli, więc więcej energii idzie na ruch obrotowy. Kula stoczy się pierwsza

Porządkując rozwiązanie.
I.Do rozwiązania wykorzystamy przemiany energii- zasadę zachowania energii mechanicznej. W trakcie staczania się brył- kuli, walca energia potencjalna \(\displaystyle{ E _{p}}\) zamieniana jest na energię kinetyczną ruchu postępowego \(\displaystyle{ E _{kp}}\) i obrotowego \(\displaystyle{ E _{ko}}\).
Opis mat. zasady
\(\displaystyle{ E _{p}=E _{kp}+E _{ko}}\),
.....................................................................
1.Dla kuli:
\(\displaystyle{ mg \cdot h= \frac{m \cdot v _{k} ^{2} }{2}+\frac{J _{ok} \cdot \omega ^{2} }{2}}\), (1)
Gdzie
\(\displaystyle{ J _{ok}= \frac{2}{5}mR ^{2}=0,4mR ^{2}}\)- moment bezwładnosci kuli wzgl. osi przechodzącej przez środek masy kuli
\(\displaystyle{ v=\omega \cdot R}\)- związek między prędkością liniową \(\displaystyle{ v}\), a kątową \(\displaystyle{ \omega}\) w ruchu obrotowym. Ten związek otrzymano, wykorzystując pojęcie chwilowego środka obrotu, który znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ S.}\). Mamy bowiem równanie \(\displaystyle{ v _{s}=v-\omega \cdot R=0}\)

Teraz P=przekształcając równanie (1) otrzymamy
\(\displaystyle{ g \cdot h=0,7v ^{2} _{k}}\)
Stąd prędkość kuli
\(\displaystyle{ v _{k} = \sqrt{ \frac{g \cdot h}{0,7} }= {1.19 \sqrt{g \cdot h} }}\)
------------------------------------------------------------------------
2. Dla walca
\(\displaystyle{ mg \cdot h= \frac{m \cdot v _{w} ^{2} }{2}+\frac{J _{ow} \cdot \omega ^{2} }{2}}\), (2)
\(\displaystyle{ J _{ow}= 0,5m \cdot {R ^{2} }}\)- moment bezwładności walca wzgl. osi przechodzącej przez środek masy walca
Po przekształceniach mamy
\(\displaystyle{ g \cdot h=0,5v _{w}+0,25v _{w}= 0,75v ^{2} _{w}}\)
Stąd prędkość walca u podstawy równi
\(\displaystyle{ v _{w}= \sqrt{ \frac{g \cdot h}{0,75} }= 1,15 \sqrt{g \cdot h}}\)
...........................................
Wniosek
\(\displaystyle{ v _{k} >v _{w},}\) :
bo;
\(\displaystyle{ 1.19 \sqrt{g \cdot h}>1,15 \sqrt{g \cdot h}}\)
-------------------------------------------------------------------------
II. Wariant rozw. w oparciu o zasadę równoważności pracy i energii kinetycznej-rys.2.

...Całkowity przyrost energii kinetycznej jest równy sumie prac wykonanych przez siły zewnętrzne...

\(\displaystyle{ E _{k2}-E _{k1} =W}\)
Gdzie
\(\displaystyle{ E _{k1}=0}\)
Zaś praca
\(\displaystyle{ W=mgh= mg \cdot s \cdot \sin \alpha}\)

/ Pracę wykonuje tylko siła ciężkości. Nacisk normalny \(\displaystyle{ N}\), siła tarcia \(\displaystyle{ T}\) pracy nie wykonują, gdyż prędkość chwilowa przyłożenia tych sił w punkcie \(\displaystyle{ S}\) (chwilowy środek obrotu) jest równa zeru. Patrz na wyjaśnienie związku między predkościami \(\displaystyle{ v, \omega}\).

Dla kuli mamy;

\(\displaystyle{ \frac{m \cdot v _{k} ^{2} }{2}+\frac{J _{ok} \cdot \omega ^{2} }{2}=mg \cdot \sin \alpha}\),
\(\displaystyle{ v _{k}=2 \sqrt{ \frac{g \cdot s \cdot \sin \alpha }{3} }}\)

Podobne zad. do ćwiczeń:
viewtopic.php?t=425968
viewtopic.php?t=414534
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=413601