Cześć!
Mam pytanie odnośnie, rzędu kwadratury złożonej (temat konkretnie to całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur).
Otóż pytanie brzmi:
Czy to prawda, że wraz ze wzrostem liczby podprzedziałów N rośnie rząd kwadratury złożonej?
Bardzo prosiłabym o uzasadnienie odpowiedzi. Z góry dziękuję za każdą odpowiedź. Pozdrawiam:)
Rząd kwadratury złożonej
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rząd kwadratury złożonej
Rząd kwadratury bezpośrednio związany jest dokładnością. Im wyższy rząd, tym większy stopień wielomianu - tym większa dokładność przybliżenia całki.
Z kolei im większy stopień wielomianu przybliżającego, tym większa ilość węzłów na których jest ona oparta, a więc i większa ilość podprzedziałów
przedziału całkowania.
Najwyższy rząd - równy \(\displaystyle{ (2n +1) }\) mają kwadratury Gaussa oparte na węzłach wielomianów ortogonalnych.
Dodano po 7 godzinach 17 minutach 43 sekundach:
Uwaga
W przypadku kwadratur złożonych opartych na przykład \(\displaystyle{ N+1 }\) węzłach liczba podprzedziałów wynosi \(\displaystyle{ N }\) a rzędy ich przybliżeń, to znaczy stopnie wielomianów mniejszych od \(\displaystyle{ n, }\) dla których są one dokładne \(\displaystyle{ Q(w)= I(w) }\) mogą być różne.
Bo na przykład dla kwadratur interpolacyjnych Newtona-Cotesa opartych na \(\displaystyle{ N+1 }\) węzłach rząd jest równy \(\displaystyle{ n+2 }\) dla \(\displaystyle{ n }\) parzystego i \(\displaystyle{ n+1 }\) dla \(\displaystyle{ n }\) nieparzystego.
Jak wspomniałem dla kwadratur Gaussa, których węzłami są pierwiastki \(\displaystyle{ (n+1) }\) wielomianu ortogonalnego ten rząd jest maksymalny i wynosi \(\displaystyle{ (2n+2). }\)
Stąd wynika, że większy wpływ na liczbę podprzedziałów całkowania kwadratury ma postać jej wielomianu przybliżającego niż rząd.
Z kolei im większy stopień wielomianu przybliżającego, tym większa ilość węzłów na których jest ona oparta, a więc i większa ilość podprzedziałów
przedziału całkowania.
Najwyższy rząd - równy \(\displaystyle{ (2n +1) }\) mają kwadratury Gaussa oparte na węzłach wielomianów ortogonalnych.
Dodano po 7 godzinach 17 minutach 43 sekundach:
Uwaga
W przypadku kwadratur złożonych opartych na przykład \(\displaystyle{ N+1 }\) węzłach liczba podprzedziałów wynosi \(\displaystyle{ N }\) a rzędy ich przybliżeń, to znaczy stopnie wielomianów mniejszych od \(\displaystyle{ n, }\) dla których są one dokładne \(\displaystyle{ Q(w)= I(w) }\) mogą być różne.
Bo na przykład dla kwadratur interpolacyjnych Newtona-Cotesa opartych na \(\displaystyle{ N+1 }\) węzłach rząd jest równy \(\displaystyle{ n+2 }\) dla \(\displaystyle{ n }\) parzystego i \(\displaystyle{ n+1 }\) dla \(\displaystyle{ n }\) nieparzystego.
Jak wspomniałem dla kwadratur Gaussa, których węzłami są pierwiastki \(\displaystyle{ (n+1) }\) wielomianu ortogonalnego ten rząd jest maksymalny i wynosi \(\displaystyle{ (2n+2). }\)
Stąd wynika, że większy wpływ na liczbę podprzedziałów całkowania kwadratury ma postać jej wielomianu przybliżającego niż rząd.