Matematyka.pl

Nie do końca rozumiem paradoks linii brzegowej.
Tzn. rozumiem, że im dokładniejsza linijka tym precyzyjniej można zmierzyć linię brzegową i uzyskiwać różne wyniki. Ale nie rozumiem, czy to jest taki serio matematyczny paradoks. Wynika to po prostu z braku odpowiednich narzędzi do pomiaru, czy też faktycznie próbując ustalić jakiś wzór, mogę dochodzić do nieskończoności?

Wynika to z fraktalnych właściwości linii brzegowych, tj. faktu, że linia brzegowa ma zazwyczaj wymiar fraktalny.

A co to dokładnie oznacza? Że można sobie w nieskończoność znajdować coraz to więcej zagłębień? Patrzyłem na wikipedii, niestety tam jest to topornie opisane. Niby rozumiem, że pojawiają się różne "wgłębienia" i wysepki, ale w jaki sposób ma się to ciągnąć w nieskończoność (w realnym świecie)?

To nie jest żaden paradoks. Rzeczy wyglądaj inaczej, gdy przyjrzymy im się z bliska. Z praktycznego punktu widzenia do pomiaru długości linii brzegowej używany innych jednostek niż do pomiaru średnicy cząsteczki.
Gdybyś chciał mierzyć linie brzegowa suwmiarką, stanąłbyś przed nierozwiazalnym dylematem: po której stronie linii jest kamyk który jeszcze przed chwilą był pod wodą, a teraz wysycha na plaży. Innymi słowy w takiej skali trudno zdefiniować linię brzegową.

Tak samo jest z innymi pomiarami. Na targu przecież nie zapłacisz 3.454378589 zł za 1.01324537865439 kg jabłek

fosil pisze: ↑29 mar 2024, o 12:55Patrzyłem na wikipedii, niestety tam jest to topornie opisane.

Na której Wikipedii? jest to opisane dość dokładnie.

nie wiem czy tam jasno to opisano - raczej marnie.

Sprawa polega na tym że powierzchnię można zakreślić albo nawet zapełnić linią - czyli 1D;

ale biorąc grubość tej linii \(\displaystyle{ d = 0}\), no to otrzymamy zwykle \(\displaystyle{ L =\infty.}\)
po prostu: 1D == 2D == 3D.
https://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve

A w przypadku tych linii morskich, brzegowych należy używać linii o grubości drogi, czyli z 20 metrów;
można użyć 1km, ale to już zaniży wynik, bo jadąc autem wzdłuż wybrzeża wyjdzie nam więcej - ciekawe o ile.

fosil pisze: ↑29 mar 2024, o 12:55 A co to dokładnie oznacza?

tu masz prosto wizualnie wytłumaczone czym jest wymiar fraktalny
https://youtu.be/gB9n2gHsHN4?si=L83COJsRV-zuR8Kn

nie ma potrzeby cudować z tymi fraktalami - jakaś nowa moda chyba na udziwnianie sprawy...

po prostu grubość linii o tym decyduje...

a i nawet dyskretyzacja to rozwala:
przykładowo okrąg ma obwód 2pir, ale gdy to zaczniemy męczyć praktycznie:
np. kreślimy po atomach obwód piłki, no to tam będzie wielokąt a nie koło... czyli inny obwód.

Jaki jest obwód Polski?

biorę bardzo grubą krechę 500km i to otaczam z łatwością,
więc i z tego wyjdzie okrąg o promieniu 500km czyli jakieś 2pi x 500 = 3000 km;

a wedle danych oficjalnych to wynosi z 3500 km, bo jest robione cieńszą kreską: 1km.

Gdy wezmę drogową miarę, czy krecha gruba z 20m, no to pewnie wyjdzie z 4000 km.

Nie chodzi o grubość linii. Jeżeli przybliżasz obwód koła przez wpisanie do niego wielokątów, które mają coraz więcej boków, to obwód tych wielokątów dąży do \(\displaystyle{ 2 \pi r}\).

Jeżeli przybliżasz obwód Wielkiej Brytanii wielokątami o coraz krótszych bokach, obwód rośnie (nie nieograniczenie, ale wciąż bardziej niż byś się tego spodziewał). Dlatego paradoks.

Nie. To nie na tym polega.

Tak jak mówiłem, co zresztą jest oficjalnie stosowane:

gdy chcemy podać obwód z dokładnością do 1km, wtedy po prostu używamy krechy o grubości 1km;
natomiast gdy podajemy z dokład. 1m, no to wówczas krecha jest cienka, więc ma automatycznie więcej załamań, i dlatego jej długość rośnie.

co się stanie gdyby zjechać z tym do 0?
zapewne nic nadzwyczajnego, i raczej nieskończoności to nie sięgnie...
bo brzeg nie jest przecież fraktalem, niby jakim... jeśli już to zapewne skończonym.

Fraktale nieskończone są jedynie w matematyce a nie w materialnych konstrukcjach -
to jest zrobione z atomów o skończonych rozmiarach, rzędu nanometrów, a nie z zerowych punktów.

Dodano po 16 minutach 56 sekundach:
Zresztą nietrudno sobie wyobrazić jak to mierzono...
szedł sobie geodeta z teodolitem i stawiał tę triangulację jak zwykle...

potem robiono zdjęcia satelitarne, czy inne... no i powychodziło im mniej - bo z daleka nie widać szczegółów,
jaką grubość ma kreseczka - piksel na fotografii z satelity w odległości 5 10 czy 20 tys km?
zapewne z kilometr, nie mniej.

no i to tyle na ten temat.