Niech
\(\displaystyle{ f(x)=(x-2)(x-1)^2-1}\), \(\displaystyle{ x \in \RR}\)
Wykaż, że równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x^* \in \RR}\). Następnie wyznacz najmniejsze \(\displaystyle{ a}\), że metoda Newtona zastosowana do rozwiązania tego równania z dowolnym punktem początkowym \(\displaystyle{ x_0>a}\) zbiegnie do \(\displaystyle{ x^*}\). Ile wynosi wykładnik zbieżności?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Do wykazania ,że to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie wystarczy chyba sprawdzić, że \(\displaystyle{ f(0)<0}\) i \(\displaystyle{ f(3)>0}\) i z własności Darboux jako, że funkcja jest ciągła musi istnieć co najmniej jedno rozwiązanie. A policzenie pochodnej funkcji daje, funkcja rośnie do argumentu \(\displaystyle{ 1}\) maleje do \(\displaystyle{ 5/3}\), a następnie dalej rośnie. Sprawdzenie, że dla \(\displaystyle{ x=1}\) funkcja jest ujemna daje, że istnieje tylko jedno rozwiązanie i to w przedziale \(\displaystyle{ [5/3,+\infty]}\). Czy taka argumentacja tu wystarczy?
A to najmniejsze \(\displaystyle{ a}\) to znajduje ze wzoru: \(\displaystyle{ a=\max(1, \sum_{j=0}^{n-1} \frac{|a_j|}{|a_n|})}\), gdzie \(\displaystyle{ a_i}\) to odpowiednie współczynniki wielomianu. To daje \(\displaystyle{ a=10}\). Jako, że pochodna funkcji dla \(\displaystyle{ x=10}\) jest różna od zera więc wykładnik zbieżności będzie równy \(\displaystyle{ 2}\).
Czy tak jest dobrze?