Matematyka.pl

Piszę pracę licencjacką i potrzebny mi jest dowód własności wielomianów trygonometrycznych. Gdzie mogę go znaleźć?

Jakich własności?

Najobszerniejszym źródłem jest książka Karlina i Studdena "Tchebycheff systems".

np. że suma i iloczyn dwóch wielomianów trygonometrycznych też jest wielomianem trygonometrycznym

No nie przesadzaj, że to wymaga aż sięgania do literatury. Skorzystaj ze wzorów \(\displaystyle{ \sin(\alpha\pm\beta),\;\cos(\alpha\pm\beta),}\) aby przekonać się, że iloczyn "jednomianów" trygonometrycznych jest wielomianem trygonometrycznym. Suma jest sprawą trywialną i nie wymaga dowodu (iloczyn zresztą też). Z powyższych wzorów musisz wyrazić \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\beta}\), \(\displaystyle{ \sin\alpha\sin\beta}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\alpha\cos\beta}\) w zależności od \(\displaystyle{ \sin(\alpha\pm\beta),\;\cos(\alpha\pm\beta),}\) i to cała sprawa.

ale promotor powiedział żebym dała odsyłacz do dowodu który znajduje się w jakiejś książce-- 14 maja 2012, o 09:42 --i jeszcze mam ze \(\displaystyle{ T}\) jest wielomianem tryg. i \(\displaystyle{ x_{0} \in R}\)to \(\displaystyle{ T(x+x_{0})}\) tez jest wielomianem trygonometrycznym, i skoro to takie trywialne to potrzebny jest wogole dowod w tej pracy?

W tym drugim to w istocie trywialne na podstawie wzorów, które podaję. Co do pierwszego, zapytaj promotora czy uwaga, jak to zrobić, bez cytowania (bo to trywialne) nie wystarczy? Gdybyś u mnie pisała pracę, wystarczyłoby. Ile miejsca zajęło mi tłumaczenie? Naprawdę więcej nie trzeba. CO najwyżej zapytałbym Cię na obronie czy rozumiesz co piszesz prosząc np. o wyprowadzenie wzoru na \(\displaystyle{ \cos mx\sin\nx.}\) Nie zawsze musi być dokłądnie tak jak chce promotor. W moich pracach mgr i dr pełno jest rzeczy zupełnie autorskich. Kwestia akceptacji promotora. Jeśli chcesz, poszukaj w Musielaku, Rudinie, Fichtenholzu. Stawiam na Fichtenholza. Ale Rudin ma abstrakcyjną wersję tw. Weierstrassa zwaną tw. Stone'a-Weierstrassa. Myślę o "Analizie funkcjonalnej". Zobacz też Chmielińskiego "Analiza Funkcjonalna. Notatki do wykładu". Generalnie podręczniki analizy funkcjonalnej. Zapewne chodzi Ci o to, że wielomiany tworzą pierścień funkcyjny zawierający jedynkę i rozdzielający punkty. To założenia konieczne do tw. Stone'a-Weierstrassa. Na pewnym poziomie nikt tego nie tłumaczy, a przyjmuje za pewnik. To naprawdę proste rzeczy.

Proponuję zapisać sobie te rozumowania na karteczce. Ale zrób je samodzielnie. Mi karteczka niepotrzebna, po prostu te rzeczy widzę przez lata doświadczenia. Czemu piszę o jednomianach? Bo to wystarczy, gdyż wielomian to suma jednomianów. Skoro suma trywialnie jest wielomianem, to wystarczy sprawdzić iloczyn dla jednomianów. W obu własnościach, o które pytasz. A jak to raz zrobisz, będziesz już wiedzieć i nikt Cię na obronie na tym nie zagnie