Czy mógł by mi ktoś wyjaśnic co to jest interpolacja.Wiem że jest to przyblizenie jednej funkcji inna ale nie rozumiem wyprowadzeń.Nie rozumiem wzoru Lagrange'a a w szczególności nie wiem jak powstał ten wzór.Jest to w internecie ale jest tak opisane że nic z tego nie kumam.
Prosze o pomoc.
Co to jest interpolacja?
-
aNom4Ly
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 5 sty 2007, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 10 razy
Co to jest interpolacja?
Witam.
Interpolacja Lagrange'a jest wbrew pozorom prosta. Przede wszystkim dość niedokładnie powiedziałeś, że jest to przybliżenie jednej funkcji inną. Tak naprawdę chodzi o to, żeby funkcja W(x) przechodziła przez KAŻDY węzeł, przez który przechodzi funkcja F(x). Co to oznacza w praktyce?
Otóż mamy jakąś funkcję \(\displaystyle{ F(x)}\). Wykres tej funkcji przechodzi przez kilka zadanych punktów (tzw. węzłów). Czyli mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ F(x_{0})=y_{0}}\)
\(\displaystyle{ F(x_{1})=y_{1}}\)
\(\displaystyle{ F(x_{2})=y_{2}}\)
...
\(\displaystyle{ F(x_{n})=y_{n}}\)
Interpolacja polega na wyznaczeniu takiej funkcji W(x), której wykres również będzie przechodził przez wszystkie węzły. Czyli musi być spełnione:
\(\displaystyle{ W(x_{0})=y_{0}}\)
\(\displaystyle{ W(x_{1})=y_{1}}\)
\(\displaystyle{ W(x_{2})=y_{2}}\)
...
\(\displaystyle{ W(x_{n})=y_{n}}\)
Tyle teorii. Teraz druga część Twojego zapytania - jak powstaje wielomian interpolacyjny Lagrange'a \(\displaystyle{ W(x)}\)? Najłatwiej będzie Ci to zrozumieć na przykładzie:
Zad. Dla podanych węzłów zapisz wielomian interpolacyjny Lagrange'a.
Węzły:
\(\displaystyle{ (x_{0},y_{0}) (x_{1},y_{1}) (x_{2},y_{2})}\)
Wielomian ten ma postać:
\(\displaystyle{ W(x)= y_{0} \frac{(x-x_{1})(x-x_{2}) }{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})} + y_{1} \frac{(x-x_{0})(x-x_{2}) }{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})} + y_{2} \frac{(x-x_{0})(x-x_{1}) }{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}\)
Skąd się to wzięło? Otóż popatrz spokojnie na ten wzór. W liczniku mamy zawsze iks minus "pozostałe" iksy. W mianowniku zaś masz dany iks minus "pozostałe" iksy. Czyli dla zerowego iksa masz:
\(\displaystyle{ y_{0} \frac{(x-x_{1})(x-x_{2}) }{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\)
W liczniku iks odjąć wszystkie iksy oprócz zerowego, a w mianowniku zerowy iks minus pozostałe. I na tej zasadzie budujesz kolejne człony dla każdego węzła.
Potem wystarczy wstawić wartości za \(\displaystyle{ x_{0}, x_{1}, x_{2}}\) i poupraszczać - wielomian gotowy! Pozdrawiam.
Interpolacja Lagrange'a jest wbrew pozorom prosta. Przede wszystkim dość niedokładnie powiedziałeś, że jest to przybliżenie jednej funkcji inną. Tak naprawdę chodzi o to, żeby funkcja W(x) przechodziła przez KAŻDY węzeł, przez który przechodzi funkcja F(x). Co to oznacza w praktyce?
Otóż mamy jakąś funkcję \(\displaystyle{ F(x)}\). Wykres tej funkcji przechodzi przez kilka zadanych punktów (tzw. węzłów). Czyli mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ F(x_{0})=y_{0}}\)
\(\displaystyle{ F(x_{1})=y_{1}}\)
\(\displaystyle{ F(x_{2})=y_{2}}\)
...
\(\displaystyle{ F(x_{n})=y_{n}}\)
Interpolacja polega na wyznaczeniu takiej funkcji W(x), której wykres również będzie przechodził przez wszystkie węzły. Czyli musi być spełnione:
\(\displaystyle{ W(x_{0})=y_{0}}\)
\(\displaystyle{ W(x_{1})=y_{1}}\)
\(\displaystyle{ W(x_{2})=y_{2}}\)
...
\(\displaystyle{ W(x_{n})=y_{n}}\)
Tyle teorii. Teraz druga część Twojego zapytania - jak powstaje wielomian interpolacyjny Lagrange'a \(\displaystyle{ W(x)}\)? Najłatwiej będzie Ci to zrozumieć na przykładzie:
Zad. Dla podanych węzłów zapisz wielomian interpolacyjny Lagrange'a.
Węzły:
\(\displaystyle{ (x_{0},y_{0}) (x_{1},y_{1}) (x_{2},y_{2})}\)
Wielomian ten ma postać:
\(\displaystyle{ W(x)= y_{0} \frac{(x-x_{1})(x-x_{2}) }{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})} + y_{1} \frac{(x-x_{0})(x-x_{2}) }{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})} + y_{2} \frac{(x-x_{0})(x-x_{1}) }{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}\)
Skąd się to wzięło? Otóż popatrz spokojnie na ten wzór. W liczniku mamy zawsze iks minus "pozostałe" iksy. W mianowniku zaś masz dany iks minus "pozostałe" iksy. Czyli dla zerowego iksa masz:
\(\displaystyle{ y_{0} \frac{(x-x_{1})(x-x_{2}) }{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\)
W liczniku iks odjąć wszystkie iksy oprócz zerowego, a w mianowniku zerowy iks minus pozostałe. I na tej zasadzie budujesz kolejne człony dla każdego węzła.
Potem wystarczy wstawić wartości za \(\displaystyle{ x_{0}, x_{1}, x_{2}}\) i poupraszczać - wielomian gotowy! Pozdrawiam.Co to jest interpolacja?
Dzięki.
A z czego jest wyprowadzony ten wzór
\(\displaystyle{ y_{0} \frac{(x-x_{1})(x-x_{2}) }{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\)
Jak został utworzony?
A z czego jest wyprowadzony ten wzór
\(\displaystyle{ y_{0} \frac{(x-x_{1})(x-x_{2}) }{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\)
Jak został utworzony?
Ostatnio zmieniony 24 sty 2007, o 21:45 przez omek00001, łącznie zmieniany 1 raz.
-
aNom4Ly
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 5 sty 2007, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 10 razy
Co to jest interpolacja?
\(\displaystyle{ y_{0} \frac{(x-x_{1})(x-x_{2}) }{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\)
Jest to wzór dla węzła zerowego. Dla każdego węzła jest nieco inny. Wyprowadzenie bierze się stąd, że funkcjami bazowymi w interpolacji Lagrange'a są następujące bazy:
\(\displaystyle{ \Phi _{0}(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}) ... (x-x_{n})}\)
\(\displaystyle{ \Phi_{1}(x)=(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3}) ... (x-x_{n})}\)
...
\(\displaystyle{ \Phi_{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}) ... (x-x_{n-1})}\)
zatem dla każdej \(\displaystyle{ \Phi_{i}(x), i=0,1, ... ,n}\) brakuje składnika \(\displaystyle{ (x-x_{i})}\) Wynika stąd że macierz z tych funkcji bazowych ma tylko główną przekątną niezerową. Postać ogólna wielomianu jest taka:
\(\displaystyle{ W(x)= a_{0}\Phi_{0}(x)+a_{1}\Phi_{1}(x)+ ... + a_{n}\Phi_{n}(x)=}\)
\(\displaystyle{ W(x)= a_{0}(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}) ... (x-x_{n})+}\)
\(\displaystyle{ W(x)= a_{1}(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3}) ... (x-x_{n})+ ...+}\)
\(\displaystyle{ W(x)= a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}) ... (x-x_{n-1})}\)
A skoro przekątna główna niezerowa, to wartości współczynników wynoszą:
\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{y_{0}}{\Phi_{0}(x_{0})}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{y_{1}}{\Phi_{1}(x_{1})}}\)
...
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{y_{n}}{\Phi_{n}(x_{n})}}\)
Jeśli te współczynniki wstawić do ogólnej postaci wielomianu, to otrzymamy wzór z poprzedniego mojego posta... Oto wyprowadzenie
Dam Ci jeszcze link do fajnie opisanego wykładu:
Na stronce znajdź:
Metody numeryczne (wykłady w formacie pdf):
* Interpolacja (naturalna, Lagrange'a, trygonometryczna, Czybyszewa, Newtona)
i ściągnij:
Cz.1,
Pozdrawiam.
Jest to wzór dla węzła zerowego. Dla każdego węzła jest nieco inny. Wyprowadzenie bierze się stąd, że funkcjami bazowymi w interpolacji Lagrange'a są następujące bazy:
\(\displaystyle{ \Phi _{0}(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}) ... (x-x_{n})}\)
\(\displaystyle{ \Phi_{1}(x)=(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3}) ... (x-x_{n})}\)
...
\(\displaystyle{ \Phi_{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}) ... (x-x_{n-1})}\)
zatem dla każdej \(\displaystyle{ \Phi_{i}(x), i=0,1, ... ,n}\) brakuje składnika \(\displaystyle{ (x-x_{i})}\) Wynika stąd że macierz z tych funkcji bazowych ma tylko główną przekątną niezerową. Postać ogólna wielomianu jest taka:
\(\displaystyle{ W(x)= a_{0}\Phi_{0}(x)+a_{1}\Phi_{1}(x)+ ... + a_{n}\Phi_{n}(x)=}\)
\(\displaystyle{ W(x)= a_{0}(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}) ... (x-x_{n})+}\)
\(\displaystyle{ W(x)= a_{1}(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3}) ... (x-x_{n})+ ...+}\)
\(\displaystyle{ W(x)= a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}) ... (x-x_{n-1})}\)
A skoro przekątna główna niezerowa, to wartości współczynników wynoszą:
\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{y_{0}}{\Phi_{0}(x_{0})}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{y_{1}}{\Phi_{1}(x_{1})}}\)
...
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{y_{n}}{\Phi_{n}(x_{n})}}\)
Jeśli te współczynniki wstawić do ogólnej postaci wielomianu, to otrzymamy wzór z poprzedniego mojego posta... Oto wyprowadzenie
Dam Ci jeszcze link do fajnie opisanego wykładu:
Na stronce znajdź:
Metody numeryczne (wykłady w formacie pdf):
* Interpolacja (naturalna, Lagrange'a, trygonometryczna, Czybyszewa, Newtona)
i ściągnij:
Cz.1,
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 27 lis 2012, o 11:51 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Co to jest interpolacja?
Witam wszystkich.
Po pierwsze chciałem podziękować za odpowiedzi w tym wątku, które były dla mnie bardzo pomocne.
Jak widać idea forum jest trafiona, bo z odpowiedz na raz zadane pytanie nie korzysta jedynie pytający, ale także inni użytkownicy Internetu
Chciałbym dodać moje pytanie do tego wątku:
Co to są węzły równoodległe oraz w jaki sposób wyznacza się węzły za pomocą algorytmu Czebyszewa?
Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Po pierwsze chciałem podziękować za odpowiedzi w tym wątku, które były dla mnie bardzo pomocne.
Jak widać idea forum jest trafiona, bo z odpowiedz na raz zadane pytanie nie korzysta jedynie pytający, ale także inni użytkownicy Internetu
Chciałbym dodać moje pytanie do tego wątku:
Co to są węzły równoodległe oraz w jaki sposób wyznacza się węzły za pomocą algorytmu Czebyszewa?
Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Co to jest interpolacja?
Interpolacja liniowa funkcji to to samo co interpolacja newtona? Wiec interpolacja lagrange'a nie jest interpolacja liniowa?