Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” 2022/23
Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” 2022/23
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wpisanego w sferę o promieniu \(\displaystyle{ R}\), który ma największą objętość.
Ostatnio zmieniony 25 sty 2024, o 18:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj Caps Locka.
Powód: Nie używaj Caps Locka.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” 2022/23
Niewątpliwie ostrosłupy o wysokości mniejszej od \(\displaystyle{ R}\) mają mniejszą objętość od ostrosłupa dla którego \(\displaystyle{ h=R}\), więc interesują mnie tylko takie w których \(\displaystyle{ R \le h<2R}\)
Z przekroju ostrosłupa zawierającego przekątną podstawy i dwie krawędzie boczne mam:
\(\displaystyle{ (h-R)^2+( \frac{a \sqrt{2} }{2} )^2=R}\)
a stąd
\(\displaystyle{ V(h)= \frac{1}{3}(2h(2R-h))h }\)
Największą objętość ma ostrosłup o \(\displaystyle{ h= \frac{4}{3}R }\)
Pozostaje policzyć długość krawędzi i ich sumę. Mi wychodzi \(\displaystyle{ 4( \frac{4R}{3}+2 \sqrt{2} R)}\) .
Z przekroju ostrosłupa zawierającego przekątną podstawy i dwie krawędzie boczne mam:
\(\displaystyle{ (h-R)^2+( \frac{a \sqrt{2} }{2} )^2=R}\)
a stąd
\(\displaystyle{ V(h)= \frac{1}{3}(2h(2R-h))h }\)
Największą objętość ma ostrosłup o \(\displaystyle{ h= \frac{4}{3}R }\)
Pozostaje policzyć długość krawędzi i ich sumę. Mi wychodzi \(\displaystyle{ 4( \frac{4R}{3}+2 \sqrt{2} R)}\) .
-
Gouranga
- Użytkownik
- Posty: 1594
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Re: Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” 2022/23
\(\displaystyle{
(h-R)^2 + \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2 = R^2\\
\frac{a^2}{2} = R^2 - (h-R)^2\\
a^2 = 2R^2 - 2(h-R)^2\\
\\
V = \frac{a^2h}{3} = \frac{2}{3}h\left( R^2 - (h-R)^2 \right)
}\)
(h-R)^2 + \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2 = R^2\\
\frac{a^2}{2} = R^2 - (h-R)^2\\
a^2 = 2R^2 - 2(h-R)^2\\
\\
V = \frac{a^2h}{3} = \frac{2}{3}h\left( R^2 - (h-R)^2 \right)
}\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” 2022/23
Ale to już było...
Ostatnio zmieniony 28 sty 2024, o 07:12 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!