Chodzi mi o naprowadzenie do rozwiązania zadania 2. Dla jakich liczb k trójmian kwadratowy... :
zadanie w linku:
[ciach]
Czy nie biorąc jeszcze wielomianów na mat-fiz w drugiej liceum będę w stanie to rozwiązać? ( Wiem, że trójmian kwadratowy to tak jak widać równanie kwadratowe, lecz nie wiem czy oprócz perfekcyjnego rozwiązywania wszystkich równań kwadratowych z parametrem ( tych na maturze rozszerzonej również), nie trzeba czegoś jeszcze znać jak np wielomiany ( ich rozkład, podzielność z resztą itp, bo tego na razie się nie uczyłem dodatkowo ), bo będę to miał za 3 miesiące w szkole ) Dodam, że świetnie ogarniam matematykę i już dużo rozwiązałem zadań konkursowych i kilka z Olimpiady o diamentowy indeks. Liczę na propozycje poniżej
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 16 lut 2021, o 23:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Domyślam się (po dacie), że to nie jest aktualny konkurs... więc wskazówka jest taka: skoro trójmian się dzieli przez \(\displaystyle{ x+k}\) to znaczy, że może zostać zapisany jako \(\displaystyle{ \left( x+k\right) \cdot \left( \text{ coś }\right) }\) a to już coś o tym trójmianie mówi...
Aby \(\displaystyle{ (x+k)\ |\ 2(1-k^{2})x^{2}+k(1+k^{2})x+2k}\) \(\displaystyle{ -k}\) musi być pierwiastkiem trójmianu, czyli \(\displaystyle{ 2(1-k^{2})(-k)^{2}+k(1+k^{2})(-k)+2k=0}\)
co jest równoważne \(\displaystyle{ 3k^4-k^2-2k=0}\) \(\displaystyle{ k=0\qquad\vee\qquad 2(k^3-1)+k(k^2-1)=0}\)
i do odpowiedzi blisko
