Matematyka.pl

W tamtym roku na drugim etapie i na finale potrzebny był tylko dowód tożsamości. Nie musisz przychodzić na galowo.

Prawdopodobieństwo na drugim akurat jest łatwe, jak już ma być to lepiej by było tylko na drugim, bo między drugim a trzecim przeskok w tej sprawie jest znaczny, z tego co widzę po poprzednich latach.


Ja tylko nie chce iloczynu wektorowego czy innych rzeczy tego typu, których do tej pory nie umiem. Damy radę.

Według mnie to te zadania drugo - etapowe są śmiesznie łatwe, maturalne są czasem trudniejsze. Nie żebym narzekała, ale to w końcu konkurs. Jedyne co je różni od takich 'szkolnych' zadań, to to, że czasem ciekawe rzeczy nam każą wyliczyć, np. sumę czterdziestu ujemnych rozwiązań równania trygonometrycznego

Czyli geometrię analityczną masz do powtórzenia, zadanka więc rób a nie 'dawaj radę'

Masz rację.

Wiem, że Chewbacca97 wspominał, że przed rozpoczęciem komisja powie nam czego mamy używać itd. Jednak wolałbym wiedzieć teraz jak wyglądała sprawa rysunków w poprzednich latach, trzeba je wykonywać długopisem jak na maturze?

Btw. Pisze ktoś w AGH w budynku A3 sali 118? :p

Wracając do zadania z krzywą tworzoną przez środki okręgów stycznych: nie należy jeszcze wliczyć okręgów stycznych wewnętrznie do podanego? Wtedy powstają dwa równania, parabole:
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{10} x^{2} - \frac{1}{2}}\) - dla okręgów stycznych zewnętrznie
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{6} x^{2}+ \frac{1}{2}}\) - dla okręgów stycznych wewnętrznie
Dobrze rozumuję, czy gdzieś jest błąd?

I jak tam poszło? Podawajcie swoje odpowiedzi.

Moje odpowiedzi :
1. \(\displaystyle{ 502}\)
2. \(\displaystyle{ x \in (0; \frac{2}{5}) \cup (2; + \infty )}\)
3. Granice w \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 4}\) nie istniały ( bo jednostronne się różniły ).
4. \(\displaystyle{ 6}\) pracowników i \(\displaystyle{ 5}\) dni.
5. \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} -1 }{4}}\)
6. \(\displaystyle{ M}\) - punkt styczności obu okręgów, więc wychodzą nam 3 styczne :
\(\displaystyle{ y_{1} = - \frac{4}{3}x +17;
y_{2} = \frac{3}{4}x - \frac{19}{4};
y_{3} = \frac{3}{4}x + \frac{31}{4}}\).
7 nie zrobiłem

A w jaki sposób liczyłeś 1. ?

Wyniki zaprezentowane będą na stronie czy listownie ?

I na stronie, i listownie do szkół. -- 31 sty 2016, o 20:26 --Dla reszty niezorientowanej: zadania były takie:

1. Wyznacz największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ k}\) taką, że liczba \(\displaystyle{ 2016!}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 10^k}\).

2. Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ \log_{x} \left( x^2 - \frac{5}{2}x +1 \right) - 2 < 0}\).

3. Wyznacz dziedzinę \(\displaystyle{ D}\) funkcji określonej wzorem i zbadaj jej granicę w punktach należących do zbioru \(\displaystyle{ \RR \setminus D}\)

4. Zespołowi pracowników zlecono pewną pracę. Gdyby było ich o \(\displaystyle{ 3}\) mniej, to pracowaliby o \(\displaystyle{ 5}\) dni dłużej, a gdyby było ich o \(\displaystyle{ 4}\) więcej, to pracowaliby o \(\displaystyle{ 2}\) dni krócej. Ilu było pracowników i jak długo pracowali?

5. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest nachylona do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 60^\circ}\). Oblicz stosunek długości promienia kuli wpisanej w ten ostrosłup do jego wysokości.

6. Okrąg \(\displaystyle{ O'}\) jest obrazem okręgu \(\displaystyle{ O}\) o równaniu w symetrii środkowej względem punktu \(\displaystyle{ M=\left( 6,6\right)}\). Napisz równanie okręgu \(\displaystyle{ O'}\) i równania wszystkich prostych, które są jednocześnie styczne do obu okręgów.

7. Losowo wybieramy liczbę \(\displaystyle{ k}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4\right\}}\), a następnie rzucamy \(\displaystyle{ k}\) razy sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
\(\displaystyle{ A}\) : wypadną same szóstki,
\(\displaystyle{ B}\) : iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą parzystą,
\(\displaystyle{ C}\) : suma wyrzuconych oczek będzie mniejsza niż 22.

\(\displaystyle{ 1.}\) można policzyć jakoś po kolei (ja tak zrobiłem), tzn. zliczałem ile jest liczb \(\displaystyle{ \le 2016}\), takich, że wykładnik przy potędze piątki jest równy odpowiednio \(\displaystyle{ 4}\) , \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 1}\) no i później się to sumuje. (patrzyłem na potęgę piątki bo wykładnik przy piątce na pewno jest mniejszy od wykładniku przy dwójce, więc \(\displaystyle{ k}\) będzie zależało od tego przy piątce). Ogólnie to można było to pocisnąć z twierdzenia, że liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) występuje w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ n!}\) z wykładnikiem \(\displaystyle{ \left[ \frac{n}{p} \right] +}\) \(\displaystyle{ \left[ \frac{n}{p^{2}} \right] +}\) \(\displaystyle{ \left[ \frac{n}{p^{3}} \right] +}\) \(\displaystyle{ \left[ \frac{n}{ p^{4} } \right] + ...}\)

Moje wyniki w 7:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{6^4}\right)}\)
\(\displaystyle{ P(B)=1-\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}\right)}\)
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot\left(1-\frac{15}{6^4}\right)}\)

2. Idzie pewnie tak :
\(\displaystyle{ \log_{x}(x^2-\frac{5}{2}x+1)-2<0 \Leftrightarrow \log_{x}(x^2-\frac{5}{2}x+1)-\log_{x}(x^2)<\log_{x}1}\).
Czyli \(\displaystyle{ \log_{x}(\frac{x^2-\frac{5}{2}x+1}{x^2}) < \log_{x}1}\). Mamy te same podstawy logarytmów po obu stronach więc prosta nierówność logarytmiczna.

Oczywiście nie zapominamy o założeniach o do liczby logarytmowanej i podstawy logarytmu. Czy tak to mogło wyglądać u was ?