Matematyka.pl

Witam, otóż jak wykazać że:
Jeśli złożenie dwóch funkcji jest ciągłe to funkcje są ciągłe
?

Ciężko wykazać coś, co nie zachodzi

No to podać przykład

To jest nieprawda. Weźmy \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) daną wzorem

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1, \ x\in \mathbb{Q} \\ 0, \ x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}}\)

oraz \(\displaystyle{ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) stale równą \(\displaystyle{ 1}\).

Wtedy \(\displaystyle{ h(x) := g(f(x))}\) też jest stale równa \(\displaystyle{ 1}\), więc jest ciągła, ale \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła.

Paylinka07 pisze:No to podać przykład

Wymyślaj samodzielnie

Powyżej masz jeden, ja podaję drugi, a Ty szukaj innego (dziedzina to \(\displaystyle{ \RR}\)).

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x\neq 0\\ 0, & x=0 \end{cases}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ f\circ f=Id}\).

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^2}, & x\neq 0\\ 0, & x=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f\circ f= x^{4}}\)

??

Ok, ale może trochę więcej kreatywności, tj zbuduj coś zupełnie innego niż podane przeze mnie lub przez Adifka

Traktuj to jako zadanie ekstra, de facto masz już trzy dobre przykłady.