Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \left{ \begin{cases} 2x, \quad \quad x \le 1 \\ \frac{1}{2} x +4, \quad x >1 \end{cases} \right. , \quad g(y) = \left{ \begin{cases} -|y| +1, \quad y < 4 \\ 2y-3 \quad \quad y \ge 4 \end{cases} \right.}\).

Wyznaczyć \(\displaystyle{ h = g \circ f, h^{-1} ([-5,1])}\).

No to wyznaczam:

\(\displaystyle{ h(x) = \left{ \begin{cases} -|f(x)| +1, \quad f(x) < 4 \\ 2f(x)-3 \quad \quad f(x) \ge 4 \end{cases} \right. = \left{ \begin{cases} -|2x| +1, \quad \quad 2x < 4 \\ 2(\frac{1}{2} x +4) -3, \quad \quad \frac{1}{2} x +4 \ge 4 \end{cases} \right. = \left{ \begin{cases} -2|x| +1, \quad x \le 2 \\ x+5, \quad \quad x \ge 0 \end{cases} \right.}\).

Gdzie się podziały pozostałe argumenty? :S

Próbowałam jeszcze inaczej - narysowałam wykres funkcji f, starałam się odczytać jej wartości i wstawiać do wzoru funkcji g, ale nie mogę tego ogarnąć... Ktoś pomoże?

Złożenie nie zawsze musi mieć pełną dziedzinę, to zależy od zbioru wartości funkcji. Niemniej jednak coś jest pokręcone w rachunkach, bo wyszło Ci że funkcja ma dwie różne wartości np. dla \(\displaystyle{ x=1}\).

Już widzę: musisz jeszcze pamiętać o tym, dla jakich argumentów jaką postać przyjmuje \(\displaystyle{ f}\). Wtedy wyjdzie wszystko dobrze.

O to chodzi?

\(\displaystyle{ h(x) = \left{ \begin{cases} -|f(x)| +1, \quad f(x) < 4 \wedge x \le 1 \\ 2f(x)-3 \quad \quad f(x) \ge 4 \wedge x > 1 \end{cases} \right. = \left{ \begin{cases} -2|x| +1, \quad x > 1 \\ x+5, \quad \quad x \ge 1 \end{cases} \right.}\).

-- 1 lut 2012, o 19:17 --

To jeszcze jeden przykład:
Wyznaczyć złożenie funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \left{ \begin{cases} x+1, \quad x \in [0,1] \\ -x+3, \quad x \in (1,3] \end{cases} \right., \quad g(x) = \left{ \begin{cases} -2x+3, \quad x \in [0,1) \\ - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}, \quad x \in [1,2] \end{cases} \right.}\)

\(\displaystyle{ h(x) = (g \circ f)(x) = \left{ \begin{cases} -2f(x) +3, \quad f(x) \in [0,1) \wedge x \in (2,3] \\ - \frac{1}{2} f(x) + \frac{3}{2}, \quad f(x) \in [1,2] \wedge x \in [0,1] \\ - \frac{1}{2} f(x) + \frac{3}{2}, \quad f(x) \in [1,2] \wedge x \in (1,3] \end{cases} \right. = \left{ \begin{cases} -2(-x+3), \quad 0 \le -x+3 < 1 \wedge x \in (2,3] \\ - \frac{1}{2} (x+1) + \frac{3}{2}, \quad 1 \le x+1 \le 2 \wedge x \in [0,1] \\ - \frac{1}{2} (-x+3) + \frac{3}{2}, \quad 1 \le -x+3 \le 2 \wedge x \in (1,3] \end{cases} \right.}\)

Nie wiem gdzie jest błąd, a jednak \(\displaystyle{ g(f(3)) = 3}\), a \(\displaystyle{ h(3) = 0}\)...

-- 1 lut 2012, o 19:19 --

Nie mogę edytować powyższego posta, zatem zaraz wkleję to jeszcze raz, bez błędu...-- 1 lut 2012, o 19:28 --\(\displaystyle{ h(x) = (g \circ f) (x) = \left{ \begin{cases} -2f(x) +3, \quad f(x) \in [0,1) \wedge x \in (2,3] \\ - \frac{1}{2} f(x) + \frac{3}{2}, \quad f(x) \in [1,2] \wedge x \in [0,1] \\ - \frac{1}{2} f(x) + \frac{3}{2}, \quad f(x) \in [1,2] \wedge x \in (1,3] \end{cases} \right. =}\)
\(\displaystyle{ = \left{ \begin{cases} -2(-x+3) +3, \quad 0 \le -x+3 < 1 \wedge x \in (2,3] \\ - \frac{1}{2} (x+1) + \frac{3}{2}, \quad 1 \le x+1 \le 2 \wedge x \in [0,1] \\ - \frac{1}{2} (-x+3) + \frac{3}{2}, \quad 1 \le -x+3 \le 2 \wedge x \in (1,3] \end{cases} \right. = \left{ \begin{cases} 2x-6, \quad x \in (2,3] \\ - \frac{1}{2} x+1 + \frac{3}{2}, \quad x \in [0,1] \\ \frac{1}{2} x, \quad x \in (1,2) \end{cases} \right.}\)