Matematyka.pl

Witam mam takie oto zadanie :

Znajdz miejsca zerowe funkcji:

1)\(\displaystyle{ f(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{x^{2}-4}}\)

2)\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x-3 \ dla\ x < 0\\-x+2 \ dla\ x\geqslant 0\end{cases}}\)

3)\(\displaystyle{ f(x)=\frac{|x|-2}{(x+2)(x-1)}}\)

Przykład 1)
Ustalamy dziedzinę:
\(\displaystyle{ D: \ x^2-4 \neq 0 \\ x \neq -2 \ \vee \ x \neq 2 \\ D: \ x \in R-\lbrace-2,2\rbrace}\)

I obliczamy miejsca zerowe, pamiętając o dziedzinie:
\(\displaystyle{ \frac{(x+1)(x-2)}{x^{2}-4}=0 \\ (x+1)(x-2)=0 \\ x+1=0 \ \ x-2=0 \\ x=-1 \ \ x=2 \\ -1 D \\ 2 \not\in D}\)

Odp: \(\displaystyle{ f(x)=0 \Leftrightarrow x=-1}\)


Przykład 2)
Ustalamy dziedzinę:
\(\displaystyle{ D_{1}: \ x< 0 \\ D_{2}: \ x\in \langle 0 , +\infty)}\)

I obliczamy miejsca zerowe, pamiętając o dziedzinie:
a) \(\displaystyle{ x\in(-\infty,0)}\)
\(\displaystyle{ x-3=0 \\ x=3 \\ 3 \not\in D_{1}}\)

b) \(\displaystyle{ x\in \langle 0 , +\infty)}\)
\(\displaystyle{ -x+2=0 \\ -x=-2 \\ x=2 \\ 2 \in D_{2}}\)

Odp: \(\displaystyle{ f(x)=0 \Leftrightarrow x=2}\)


Przykład 3)
Ustalamy dziedzinę:
\(\displaystyle{ D: \ (x+2)(x-1) \neq 0 \\ x+2 \neq 0 \ \vee \ x-1 \neq 0 \\ x \neq -2 \\ x \neq 1 \\ D: \ x \in R-\lbrace-2,1\rbrace}\)

I obliczamy miejsca zerowe, pamiętając o dziedzinie:
\(\displaystyle{ \frac{|x|-2}{(x+2)(x-1)}=0 \\ |x|-2=0 \\ |x|=2 \\ x=2 \lor \ x=-2 \\ 2 \in D \\ -2 \not\in D}\)

Odp: \(\displaystyle{ f(x)=0 \Leftrightarrow x=2}\)