Matematyka.pl

Witam serdecznie forumowiczów,

Dotychczas nie miałem problemów z matematyka, z funkcjami.
Dostałem na 1 roku studiów, zadanie z analizy matematycznej.

Starałem się rozwiązać, jednak mam z tym spore problemy - bardzo proszę Was o pomoc, ewentualnie tylko podpowiedzi.

Funkcja
\(\displaystyle{ f(x) = (3x^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{x}}}\)

Analiza:
- wyznaczyć dziedzinę, sprawdzić parzystość i nieparzystość funkcji
- obliczyć punkty przecięcia z osiami
- wyznaczyć granicę na końcach określoności dziedziny
- wyznaczyć asymptoty
- określić przedziały monotoniczności funkcji
- znaleźć ekstrema funkcji
- wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji
- znaleźć punkty przegięcia wykresu funkcji
- stworzyć tabelę zmiennośći
- wykres

Z góry przepraszam moderatora - nie jestem pewien czy w dobrym dziale umieszczam mój problem.

1. Zakładam że funkcji nie da się już uprościć więc pozostawiam ją w postaci
\(\displaystyle{ f(x) = (3x^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{x}}}\)

Wyznaczam dziedzinę:
\(\displaystyle{ D=\lbrace x: x\in R \wedge x \neq 0\rbrace}\)
Ponieważ x jest w mianowniku potęgi, dlatego wykluczam 0.

Sprawdzam parzystość
\(\displaystyle{ f(-x) = f(x)
\\ f(-x) = (3*(-x)^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{-x}}
\\ f(-x) = (3x^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{-x}}
\\ f(-x) \neq f(x)}\)
funkcja nie jest parzysta

Sprawdzam nieparzystość
\(\displaystyle{ f(-x) = -f(x)
\\ (3x^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{-x}} \neq -(3x^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{x}}
\\ f(-x) \neq -f(x)}\)
funkcja nie jest nieparzysta

Sprawdzam przecięcie z osiami
- z osia Oy
\(\displaystyle{ f(0) = sprzecznosc, 0 \notin D}\) - brak punktu przecięcia z Osią Oy

- z osia Ox
\(\displaystyle{ f(x) = 0 \Rightarrow (3x^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{x}} = 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ (3x^{2} + 5) = 0 \ \vee \ e ^{ \frac{5}{x}} = 0}\)
\(\displaystyle{ x \in \phi \ bo \ \forall x \in R \ \ (3x^{2} + 5) > 0 \wedge \ \forall x \in R \ \ \ e ^{ \frac{5}{x}} > 0}\)

Wniosek: brak punktow przeciecia z osiami

Wyznaczyć granicę na końcach określoności dziedziny
Komentarz: Rozumiem, że sprawdzam granicę w punkcie 0 ? czy też nieskończoności??
Liczę granicę obustronną w pkt 0? bo 0 nie nalezy do dziedziny.

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0+ } (3x^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{x}} = +\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0- } (3x^{2} + 5)*e ^{ \frac{5}{x}} = 0}\)

Istnieje asymptota pionowa x=0, ponieważ z def x=b
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to b } f(x) = +\infty}\)

Dobrze? Co z asymptotą poziomą? ukośną... trochę tutaj zaczynam się gubić.
Proszę o sugestię w jaki sposób dalej rozwiązywać zadanie i czy to co do tej pory napisałem jest prawidłowe.

Z góry dziękuje wszystkim za okazaną pomoc.

Pozdrawiam,
Paweł

Liczyłem asymptotę ukośna dla tej funkcji i wyszło mi że nie istnieje, licząc a wprost wychodzi nieskończoność przez nieskończoność , stosuje d'Hospitala i wychodzi mi nieskończoność przez 1, wniosek nie ma asymptoty ukośnej. Może ktoś to potwierdzić?