Matematyka.pl

ZAD: Dla danej funkcji \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) zbadać, czy \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa i czy jest na:
\(\displaystyle{ f(x)= 2^{x}+x}\)
...
\(\displaystyle{ 2^{ x_{1} }+ x_{1}= 2^{ x_{2} }+ x_{2}}\). Co dalej?

Jest to funkcja rosnąca. Nieprawdaż? Jest sumą dwóch funkcji rosnących.

Co do surjektywności, zauważ, że granice naszej funkcji w \(\displaystyle{ \pm\infty}\) wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ \pm\infty}\). Toteż, jako funkcja ciągła, przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.

Faktycznie. Suma dwóch funkcji rosnących daję funkcję rosnącą. Jest tak po obu stronach równości. Nie istnieją dwa różne argumenty dla których funkcja przyjmuje jednakową wartość, więc funkcja jest injekcją.

-- 3 paź 2013, o 23:38 --

Funkcja ta jest również surjekcją. W książce jest napisane, że funkcja ta ma również własność Darboux. Co to znaczy?

Mniej więcej to co napisał szw1710. Jeśli \(\displaystyle{ f(x)=a}\) i \(\displaystyle{ f(y)=b}\) (\(\displaystyle{ x<y}\)), to dla każdego \(\displaystyle{ c \in ( \min (a,b), \max (a,b) )}\) istnieje \(\displaystyle{ z \in (x,y)}\) takie, że \(\displaystyle{ f(z)=c}\).

Okazuje się, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux. Oczywiście nie każda funkcja mająca własność Darboux jest ciągła.