Czy istnieją \(\displaystyle{ g, h : \RR \to \RR}\) takie, że to iż \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR}\) jest identycznością jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ f}\) komutuje z nimi, tj. \(\displaystyle{ f \circ g = g \circ f}\) i \(\displaystyle{ f \circ h = h \circ f }\)
Ostatnio zmieniony 30 wrz 2023, o 17:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
Bez zmniejszania ogólności \(\displaystyle{ \mathbb{R} = \{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}}}\). Określmy \(\displaystyle{ g, h : \{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}} \to \{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}}}\) tak, że \(\displaystyle{ g(x) = 0 ^{\frown} x}\) (tj. \(\displaystyle{ g}\) dołącza \(\displaystyle{ 0}\) na początku \(\displaystyle{ x}\)) i \(\displaystyle{ h(x) = 1 ^{\frown} x}\). Wykażemy, że dowolna funkcja \(\displaystyle{ f : \{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}} \to \{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}}}\) komutująca z \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ h}\) jest identycznością.
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ f(x) \neq x}\). Przypuśćmy dla przykładu, że \(\displaystyle{ x = 010 \ldots}\) i \(\displaystyle{ f(x) = 011 \ldots}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) daje się zapisać jako \(\displaystyle{ x = g(h(g(x')))}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x' \in \{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}}}\). Zatem
