Matematyka.pl

Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=9 \\ xy+yz+zx=26 \\ xyz=24 \end{cases} }\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ z= \frac{24}{xy} }\), to z trzeciego równania. Dalej podstawiając to do pozostałych równań:
\(\displaystyle{ xy+\frac{24}{x}+\frac{24}{y}=26}\) po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ xy}\)
\(\displaystyle{ x^2y^2+24y+24x=26xy}\)
\(\displaystyle{ x+y+\frac{24}{xy}=9}\)
\(\displaystyle{ x^2y+xy^2+24=9xy}\)
\(\displaystyle{ xy(xy-26)+24(x+y)=0}\)
\(\displaystyle{ xy(x+y-9)+24=0}\)
Przyjmuję nowe zmienne:
\(\displaystyle{ u=xy}\)
\(\displaystyle{ v=x+y}\)
\(\displaystyle{ u(u-26)+24v=0}\)
\(\displaystyle{ u(v-9)+24=0}\)
zatem
\(\displaystyle{ v=\frac{(26-u)u}{24}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(26-u)u^2}{24}-9u+24=0}\)
\(\displaystyle{ (26-u)u^2-216u+576=0}\)
\(\displaystyle{ -u^3+26u^2-216u+576=0}\)
Teraz używając schematu Hornera szukając pierwiastków całkowitych można stwierdzić, że \(\displaystyle{ 6}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu i mamy:
\(\displaystyle{ (u-6)(-u^2+20u-96)=0}\)
Licząc deltę otrzymujemy kolejne pierwiastki \(\displaystyle{ 8}\) i \(\displaystyle{ 12}\).
A zatem mamy pary \(\displaystyle{ (u,v):=(6,5) \vee (8,6) \vee (12,7)}\)
Wracamy do poprzednich zmiennych:
\(\displaystyle{ xy=6}\)
\(\displaystyle{ x+y=5}\)
Rozwiązaniem tego układu jest \(\displaystyle{ x=2,y=3,z=4}\) albo \(\displaystyle{ x=3,y=2,z=4}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ xy=8}\)
\(\displaystyle{ x+y=6}\)
Rozwiązaniem tego układu jest \(\displaystyle{ x=2,y=4,z=3}\) lub \(\displaystyle{ x=4,y=2,z=3}\)
I następnie
\(\displaystyle{ xy=12}\)
\(\displaystyle{ x+y=7}\)
Rozwiązaniem tego układu jest \(\displaystyle{ x=4,y=3,z=2}\) lub \(\displaystyle{ x=3,y=4,z=2}\),
a zatem ogólnie rozwiązaniem jest trójka liczb \(\displaystyle{ 2,3,4}\) i to rozwiązanie jest symetryczne względem wszystkich zmiennych.

Czy tak jest dobrze?

Sprawdziłem:
\[t^3-9t^2+26t-24=0\iff t\in\{2,3,4\}\]
Pozdrawiam

A co przyjąłeś za zmienną t?

Dynia5 pisze: ↑6 wrz 2023, o 22:23 A co przyjąłeś za zmienną t?

Nic. `x,y,z` są rozwiązaniami tego równania i wynika to wprost że wzorów Viete'a.

Czyli ten układ równań to wzory Viete'a dla tego równania wielomianowego które napisał JHN?

Tak