Równanie z całką

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11200
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3136 razy
Pomógł: 744 razy

Równanie z całką

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\) takie, że
\(\displaystyle{ (a^2+ab+b^2) \int_{a}^b f(x) dx =3 \int_{a}^b x^2 f(x) dx, }\)
gdy \(\displaystyle{ a,b \in \RR.}\)

Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 23 mar 2023, o 12:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5683
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 523 razy

Re: Równanie z całką

Post autor: arek1357 »

Najprostsze rozwiązanie:

\(\displaystyle{ f(x)=C}\)


Napiszę pokrótce co z tym robiłem:

Najpierw przez części:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^2f(x)dx=x^2F(x)-2 \int_{}^{} xF(x)=x^2F(x)-2xL(x)+2 \int_{}^{} L(x)dx=x^2F(x)-2xL(x)+2C(x)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} f(x)dx=F(x) , F'(x) =f(x) }\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} F(x)dx=L(x) , L'(x)=F(x) }\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} L(x)dx=C(x) , C'(x)=L(x)}\)

Więc:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} x^2f(x)dx=b^2F(b)-2bL(b)+2C(b)-a^2F(a)+2aL(a)-2C(a)}\)

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)}\)

równanie wyjściowe:

\(\displaystyle{ (a^2+ab+b^2) \int_{a}^{b}f(x)dx=3 \int_{a}^{b} x^2f(x)dx }\)

Podstawiając do zadaniowego równania i skrócenia otrzymamy:

(*) \(\displaystyle{ a^2F(b)+abF(b)-abF(a)-b^2F(a)-2b^2F(b)+2a^2F(a)=-6bL(b)+6aL(a)-6C(a)+6C(b) /^{'a'b} }\)

Czyli różniczkujemy najpierw względem a potem b...

Po skróceniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(a)+af'(a)-f(a)-2bf'(a)=0}\)

\(\displaystyle{ (a-2b)f'(a)=0}\)

więc:

\(\displaystyle{ f'(a)=0}\)

Czyli nasza funkcja ma postać:

\(\displaystyle{ f(x)=C}\)

I po podstawieniu zgadza się

Ale teraz możemy równanie (*) różniczkować inaczej np.: dwa razy względem a

I otrzymamy:

\(\displaystyle{ a^2F(b)+abF(b)-abF(a)-b^2F(a)-2b^2F(b)+2a^2F(a)=-6bL(b)+6aL(a)-6C(a)+6C(b) /^{'a'a} }\)

Po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ (2a^a+6a-3b)f'(a)-(ab+b^2)f''(a)=0}\)

Możemy podstawić:

\(\displaystyle{ a=x, f(a)=y(x)}\)

\(\displaystyle{ y'(2x^2+6x-3b)-(bx+b^2)y''=0}\)

Po pierwszym scałkowaniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} =e^{ \frac{x^2-2bx+6x}{b} }\left( x+b\right)^{2b-9} }\)

lub:

\(\displaystyle{ f(x)=y= \int_{}^{} e^{ \frac{x^2-2bx+6x}{b} }\left( x+b\right)^{2b-9} dx}\)

No i tu raczej całkowanie odpuszczam, ale według wszelki przesłanek ta funkcja też winna spełnić to równanie...
ODPOWIEDZ