Rownanie funkcyjne
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Rownanie funkcyjne
\(\displaystyle{ f(x^2)-f(x)=x^2-x}\)
Zabuksowalam. Jedno rozwiazanie jest oczywiste i mozna latwo do niego dojsc przy zalozeniu, ze \(\displaystyle{ f}\) jest funkcja analityczna. Bede wdzieczna za podpowiedz, jak mozna to rozgryzc bez powyzszego zalozenia.
Zabuksowalam. Jedno rozwiazanie jest oczywiste i mozna latwo do niego dojsc przy zalozeniu, ze \(\displaystyle{ f}\) jest funkcja analityczna. Bede wdzieczna za podpowiedz, jak mozna to rozgryzc bez powyzszego zalozenia.
-
- Administrator
- Posty: 34304
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rownanie funkcyjne
Jedno rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ f(x)=x}\) jest oczywiste zupełnie bez żadnych założeń. Chyba więc chodziło o co innego.
JK
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Rownanie funkcyjne
Dziekuje, tak, wlasnie zgadujac mozna do niego dojsc, a przy zalozeniu analitycznosci mamy jedynosc. Ciekawsze bylyby inne rozwiazania, o ile istnieja, a najciekawsze - jak je znalezc.
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Rownanie funkcyjne
Jesli \(\displaystyle{ g }\) ciagla, to musi byc stala, juz wczesniej o tym myslalam. A jesli nie ciagla, to funcje kawalkami ciagle sa rozwiazaniem, nietrudno skonstruowac, natomiast jak znalezc wszystkie nieciagle rozwiazania - nie wiem.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10232
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Rownanie funkcyjne
Relacja
\(\displaystyle{ x \sim y \quad \text{gdy} \quad (\exists k \in \ZZ) \, y = x^{2^k}}\)
jest relacją równoważności na \(\displaystyle{ [0, \infty)}\). Gdy znamy wartości \(\displaystyle{ g}\) na jakimkolwiek selektorze klas abstrakcji, to z równania można wywnioskować wartości na wszystkich liczbach nieujemnych, a potem rzeczywistych. W szczególności, dowolna funkcja \(\displaystyle{ g_0 : \{ 0 \} \cup \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right] \cup \{ 1 \} \cup [2, 4) \to \RR}\) jednoznacznie przedłuża się na \(\displaystyle{ \RR}\) do rozwiązania równania.
\(\displaystyle{ x \sim y \quad \text{gdy} \quad (\exists k \in \ZZ) \, y = x^{2^k}}\)
jest relacją równoważności na \(\displaystyle{ [0, \infty)}\). Gdy znamy wartości \(\displaystyle{ g}\) na jakimkolwiek selektorze klas abstrakcji, to z równania można wywnioskować wartości na wszystkich liczbach nieujemnych, a potem rzeczywistych. W szczególności, dowolna funkcja \(\displaystyle{ g_0 : \{ 0 \} \cup \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right] \cup \{ 1 \} \cup [2, 4) \to \RR}\) jednoznacznie przedłuża się na \(\displaystyle{ \RR}\) do rozwiązania równania.
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Rownanie funkcyjne
Bardzo eleganckie! Dziekuje
Ale, zakuta pala, dalej nie widze, jak rozwiazanie rownania \(\displaystyle{ g(x^2)=g(x)}\) mozna wykorzystac do rozwiazania wyjsciowego problemu \(\displaystyle{ g(x^2)-g(x)=x^2-x}\)
Ale, zakuta pala, dalej nie widze, jak rozwiazanie rownania \(\displaystyle{ g(x^2)=g(x)}\) mozna wykorzystac do rozwiazania wyjsciowego problemu \(\displaystyle{ g(x^2)-g(x)=x^2-x}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10232
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Rownanie funkcyjne
\(\displaystyle{ f}\) spełnia \(\displaystyle{ f(x^2) - f(x) = x^2 - x}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ g(x) := f(x) - x}\) spełnia \(\displaystyle{ g(x^2) = g(x)}\).