Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x^2)-f(x)=x^2-x}\)

Zabuksowalam. Jedno rozwiazanie jest oczywiste i mozna latwo do niego dojsc przy zalozeniu, ze \(\displaystyle{ f}\) jest funkcja analityczna. Bede wdzieczna za podpowiedz, jak mozna to rozgryzc bez powyzszego zalozenia.

Mlodsza pisze: ↑5 gru 2023, o 21:12 Jedno rozwiazanie jest oczywiste i mozna latwo do niego dojsc przy zalozeniu, ze \(\displaystyle{ f}\) jest funkcja analityczna.

Jedno rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ f(x)=x}\) jest oczywiste zupełnie bez żadnych założeń. Chyba więc chodziło o co innego.

JK

Dziekuje, tak, wlasnie zgadujac mozna do niego dojsc, a przy zalozeniu analitycznosci mamy jedynosc. Ciekawsze bylyby inne rozwiazania, o ile istnieja, a najciekawsze - jak je znalezc.

A potrafisz rozwiązać równanie `g(x^2)=g(x)`?

Jesli \(\displaystyle{ g }\) ciagla, to musi byc stala, juz wczesniej o tym myslalam. A jesli nie ciagla, to funcje kawalkami ciagle sa rozwiazaniem, nietrudno skonstruowac, natomiast jak znalezc wszystkie nieciagle rozwiazania - nie wiem.

\(\displaystyle{ f(x)=x+a}\) - też rozwiazanie

Relacja

\(\displaystyle{ x \sim y \quad \text{gdy} \quad (\exists k \in \ZZ) \, y = x^{2^k}}\)

jest relacją równoważności na \(\displaystyle{ [0, \infty)}\). Gdy znamy wartości \(\displaystyle{ g}\) na jakimkolwiek selektorze klas abstrakcji, to z równania można wywnioskować wartości na wszystkich liczbach nieujemnych, a potem rzeczywistych. W szczególności, dowolna funkcja \(\displaystyle{ g_0 : \{ 0 \} \cup \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right] \cup \{ 1 \} \cup [2, 4) \to \RR}\) jednoznacznie przedłuża się na \(\displaystyle{ \RR}\) do rozwiązania równania.

Bardzo eleganckie! Dziekuje

Ale, zakuta pala, dalej nie widze, jak rozwiazanie rownania \(\displaystyle{ g(x^2)=g(x)}\) mozna wykorzystac do rozwiazania wyjsciowego problemu \(\displaystyle{ g(x^2)-g(x)=x^2-x}\)

\(\displaystyle{ f}\) spełnia \(\displaystyle{ f(x^2) - f(x) = x^2 - x}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ g(x) := f(x) - x}\) spełnia \(\displaystyle{ g(x^2) = g(x)}\).