Matematyka.pl

Wyznaczyc \(\displaystyle{ f}\) jeśli \(\displaystyle{ f(x+ \frac{1}{x} )= x^6 + \frac{1}{x^6} }\)dla \(\displaystyle{ x \neq 0 }\).

\(\displaystyle{ x^6+x^{-6}=(x^3+x^{-3})^2-2}\)
\(\displaystyle{ x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})(x^2-1+x^{-2})}\)
\(\displaystyle{ x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2}\)
Zatem
\(\displaystyle{ x^3+x^{-3}=t^2(t^2-3)^2-2}\)

Tj. czyli jakie \(\displaystyle{ f }\) ? A inne metody ? (liczby zespolone \(\displaystyle{ \cosh()}\), itd.)

mol_ksiazkowy pisze: 26 lis 2024, o 21:02 Tj. czyli jakie \(\displaystyle{ f }\) ? A inne metody ? (liczby zespolone \(\displaystyle{ \cosh()}\), itd.)

Można tak:
Zatem wystarczy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ t=x+1/x}\) ze względu na \(\displaystyle{ x}\) i podstawiać pod wzór \(\displaystyle{ f}\). Niestety funkcja \(\displaystyle{ x+1/x}\) nie ma funkcji odwrotnej na całej dziedzinie ale można to zrobić kawałkami.

a4karo pisze: 26 lis 2024, o 19:16 \(\displaystyle{ x^6+x^{-6}=(x^3+x^{-3})^2-2}\)
\(\displaystyle{ x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})(x^2-1+x^{-2})}\)
\(\displaystyle{ x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2}\)
Zatem
\(\displaystyle{ x^{\red{6}}+x^{\red{-6}}=t^2(t^2-3)^2-2}\)

Przepraszam za literówkę.
Oczywiście lewa strona równania to `f(t)`. Ale ponieważ `x+1/x` może przybierać jedynie wartości z \(\displaystyle{ (-\infty,-2]\cup[2,\infty)}\) , to wartości `f` na przedziale `(-2,2)` mogą być zupełnie dowolne.

A co to jest \(\displaystyle{ t }\) ? być może \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} }\)...

Jak patrzę na to, co napisałem, to ani chybi tak jest

A jeśli \(\displaystyle{ e^t=x }\) to \(\displaystyle{ f(2 \cosh(t)) = e^{6t}+ e^{-6t} = (\cosh(t)+ \sinh(t))^6 + (\cosh(t)- \sinh(t))^6}\) i po rozwinięciu nieparzyste potęgi znikną...